每週問題 October 27, 2014

AB 是同尺寸矩陣,證明 \text{rank}(A+B)\le\text{rank}A+\text{rank}B

Let A and B be m\times n matrices. Show that \text{rank}(A+B)\le\text{rank}A+\text{rank}B.

 
參考解答:

證明1:設 ABm\times n 階複矩陣。我們以 C(X) 表示矩陣 X 的行空間 (column space),即有 \text{rank}X=\dim C(X)。因為 C(A+B)=\{A\mathbf{x}+B\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\}C(A)+C(B)=\{A\mathbf{x}+B\mathbf{y}\vert\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n\},推知 C(A+B)\subseteq C(A)+C(B),故

\text{rank}(A+B)=\dim C(A+B)\le \dim (C(A)+C(B))

\{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_r\}C(A) 的基底,\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_s\}C(B) 的基底,其中 r=\text{rank}As=\text{rank}B。據此,C(A)+C(B)=\text{span}\{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_r,\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_s\}。明顯地,

\dim (C(A)+C(B))\le r+s=\text{rank}A+\text{rank}B

合併上面兩個不等式即得證。

證明2:考慮分塊矩陣乘法

\begin{bmatrix} I_m&I_m\\ 0&I_m \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A&0\\ 0&B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_n&0\\ I_n&I_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A+B&B\\ B&B \end{bmatrix}

因此,

\begin{aligned} \hbox{rank}A+\hbox{rank}B&=\hbox{rank}\begin{bmatrix} A&0\\ 0&B \end{bmatrix}=\hbox{rank}\begin{bmatrix} A+B&B\\ B&B \end{bmatrix}\\ &\ge\hbox{rank}\begin{bmatrix} A+B\\ B \end{bmatrix} \ge\hbox{rank}(A+B). \end{aligned}

廣告
本篇發表於 pow 向量空間, 每週問題 並標籤為 , 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s