每週問題 November 10, 2014

證明可么正對角化 (或稱可酉對角化,unitarily diagonalizable) 是正規矩陣 (normal matrix) 的一個充要條件。

Let A be an n\times n matrix. Show that A is normal, i.e., A^\ast A=AA^\ast, if and only if A is unitarily diagonalizable, namely, there exists a unitary matrix U of the same size such that

\displaystyle U^\ast AU=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n),

where \lambda_1,\ldots,\lambda_n are eigenvalues of A.

 
參考解答:

(\Rightarrow) 假設 A 是一正規矩陣。根據 Schur 定理,任一矩陣 A 可以三角化為 U^\ast AU=T,其中 T=[t_{ij}] 是上三角矩陣 (t_{ij}=0i>j),U 是么正矩陣 (unitary matrix),U^{\ast}=U^{-1}。因為 A^{\ast}A=AA^{\ast},可得

\displaystyle\begin{aligned} TT^{\ast}&=U^\ast AUU^{\ast}A^{\ast}U=U^\ast AA^{\ast}U\\ &=U^\ast A^{\ast}AU=U^{\ast}A^{\ast}UU^\ast AU=T^\ast T,\end{aligned}

T 也是正規矩陣。比較 T^\ast T=TT^\ast 等號兩邊的主對角元。寫出 (T^\ast T)_{11}=\overline{t_{11}}t_{11}=\vert t_{11}\vert^2 以及

\displaystyle (TT^\ast)_{11}=t_{11}\overline{t_{11}}+t_{12}\overline{t_{12}}+\cdots+t_{1n}\overline{t_{1n}}=\vert t_{11}\vert^2+\vert t_{12}\vert^2+\cdots+\vert t_{1n}\vert^2

立知 \vert t_{12}\vert^2+\cdots+\vert t_{1n}\vert^2=0,推得 t_{12}=\cdots=t_{1n}=0。同樣地,比較 (T^\ast T)_{22}(TT^\ast)_{22} 可知 t_{2j}=0j>2。餘此類推即得 t_{ij}=0i<j,證明 T 是對角矩陣,故 A 可么正對角化。

(\Leftarrow) 假設 A 可么正對角化為 U^\ast AU=D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)。因為 D^\ast D=DD^\ast (對角矩陣是可交換矩陣),即有

\displaystyle\begin{aligned} AA^{\ast}&=UDU^\ast UD^{\ast}U^{\ast}=UDD^{\ast}U^\ast\\ &=UD^{\ast}DU^\ast=UD^{\ast}U^{\ast}UDU^\ast=A^\ast A,\end{aligned}

證明 A 是正規矩陣。

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