## 每週問題 November 10, 2014

Let $A$ be an $n\times n$ matrix. Show that $A$ is normal, i.e., $A^\ast A=AA^\ast$, if and only if $A$ is unitarily diagonalizable, namely, there exists a unitary matrix $U$ of the same size such that

$\displaystyle U^\ast AU=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n),$

where $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ are eigenvalues of $A$.

($\Rightarrow$) 假設 $A$ 是一正規矩陣。根據 Schur 定理，任一矩陣 $A$ 可以三角化為 $U^\ast AU=T$，其中 $T=[t_{ij}]$ 是上三角矩陣 ($t_{ij}=0$$i>j$)，$U$ 是么正矩陣 (unitary matrix)，$U^{\ast}=U^{-1}$。因為 $A^{\ast}A=AA^{\ast}$，可得

\displaystyle\begin{aligned} TT^{\ast}&=U^\ast AUU^{\ast}A^{\ast}U=U^\ast AA^{\ast}U\\ &=U^\ast A^{\ast}AU=U^{\ast}A^{\ast}UU^\ast AU=T^\ast T,\end{aligned}

$T$ 也是正規矩陣。比較 $T^\ast T=TT^\ast$ 等號兩邊的主對角元。寫出 $(T^\ast T)_{11}=\overline{t_{11}}t_{11}=\vert t_{11}\vert^2$ 以及

$\displaystyle (TT^\ast)_{11}=t_{11}\overline{t_{11}}+t_{12}\overline{t_{12}}+\cdots+t_{1n}\overline{t_{1n}}=\vert t_{11}\vert^2+\vert t_{12}\vert^2+\cdots+\vert t_{1n}\vert^2$

($\Leftarrow$) 假設 $A$ 可么正對角化為 $U^\ast AU=D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$。因為 $D^\ast D=DD^\ast$ (對角矩陣是可交換矩陣)，即有

\displaystyle\begin{aligned} AA^{\ast}&=UDU^\ast UD^{\ast}U^{\ast}=UDD^{\ast}U^\ast\\ &=UD^{\ast}DU^\ast=UD^{\ast}U^{\ast}UDU^\ast=A^\ast A,\end{aligned}

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