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給定一個 階矩陣
,特徵值
是特徵多項式
的根,重根數稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。對應特徵值
,所能找到最大的線性獨立向量數,也就是特徵空間的維數
,稱為
的幾何重數 (geometric multiplicity)。見下例,
。
上三角矩陣的主對角元為其特徵值,可知 的特徵值為
;特徵值
的代數重數是
,特徵值
的代數重數是
。對應特徵值
,
有一個特徵向量
,幾何重數為
;對應特徵值
,
有一個特徵向量
,幾何重數為
。本文利用矩陣三角化證明:對應每一個特徵值,幾何重數必不大於代數重數。(其他證法請參閱“特徵值的代數重數與幾何重數”,“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”,“拒絕行列式的特徵分析”。)
令 為
階矩陣
的相異特徵值,
。令
為特徵值
的代數重數。因此,
的特徵多項式如下:
,
其中 。我們要證明的命題是
,
。
證明於下:寫出 的特徵多項式
其中第 項為
。因此,
有特徵值
,代數重數為
,以及
個相異非零特徵值
,代數重數為
,
且
。根據 Schur 定理 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”),
可三角化為
,
其中 是一個么正矩陣 (unitary matrix) 滿足
,
是上三角矩陣。因為
相似於
,可知
而且這兩個矩陣有相同的特徵值 (見“相似變換下的不變性質”)。所以,
的主對角元為
的特徵值,也就是說
的主對角元包含
個零元,以及
個非零元,表明
(因為上三角矩陣
的最大線性獨立行向量集包含非零主對角元所屬的行向量,矩陣秩算法請參閱“利用行列式計算矩陣秩”)。使用秩─零度定理 (見“運用輸入輸出模型活化秩─零度定理”),可得
這個證明過程顯示了矩陣秩與非零特徵值數目的關係:矩陣秩大於或等於非零特徵值數 (含相重特徵值)[1]。例如,下面三個方陣的特徵值同為 :
,
目視可知 ,
,
。若
可對角化為
,其中
,立知
,而
等於
的非零主對角元數,也就是
的非零特徵值數。更進一步,實對稱矩陣可正交對角化 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”),故實對稱矩陣的秩即為非零特徵值數。
註解
[1] 對於一個 階矩陣
,
等於非零奇異值數 (見“矩陣的數值秩”),故非零奇異值數大於或等於非零特徵值數。上例中,
的奇異值為
,
的奇異值為
,
的奇異值為
。
周老师,您好,我想请教下那个实对称矩阵要如何证明其代数重数=几何重数?
我在上文最後一句話添加了一個連結,請你點進去看定理五(一個證明使用歸納法,另一個使用反證法)。
十分感谢!(●’◡’●)
感觉也可以利用现有结论进行证明。。。
1 正规矩阵可以正交对角化,所以正规矩阵属于可对角矩阵。
2 可对角化的矩阵的充要条件是代数重数等于几何重数
3 对称矩阵是正规矩阵
综上,对称矩阵的代数重数=几何重数。
第1點的normal matrix is diagonalizable. 這邊你要先說明當repeated eigenvalues的情況仍然有對應到的eigenvectors數目存在,才能繼續下面的論證,若非如此,有種拿結論當前提來論述的感覺。
Reblogged this on 鮑威宇的個人博客 and commented:
周老師的線性代數知識,關於特征值的代數重數和幾何重數