每週問題 November 17, 2014

證明正規矩陣 (normal matrix) 的特徵值平方和等於所有元的平方和。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n matrix. If A is normal, i.e., AA^\ast=A^\ast A, show that

\displaystyle  \sum_{i=1}^n\vert\lambda_i\vert^2=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\vert a_{ij}\vert^2.

 
參考解答:

正規矩陣 A 可么正對角化 (unitarily diagonalizable) 為 A=U\Lambda U^\ast,其中 \Lambda=\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\lambda_1,\ldots,\lambda_nA 的特徵值,U 是么正矩陣 (unitary matrix) 使得 U^\ast=U^{-1}。利用跡數循環不變性,

\displaystyle\begin{aligned}  \text{trace}(A^\ast A)&=\text{trace}(U\Lambda^\ast U^\ast U\Lambda U^\ast)=\text{trace}(U\Lambda^\ast \Lambda U^\ast)\\  &=\text{trace}(\Lambda^\ast\Lambda U^\ast U)=\text{trace}(\Lambda^\ast\Lambda).\end{aligned}

寫出 A^\ast A\Lambda^\ast \Lambda 的跡數表達式

\displaystyle  \text{trace}(A^\ast A)=\sum_{j=1}^n(A^\ast A)_{jj}=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n\overline{a_{ij}}a_{ij}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\vert a_{ij}\vert^2

\displaystyle  \text{trace}(\Lambda^\ast \Lambda)=\sum_{i=1}^n(\Lambda^\ast\Lambda)_{ii}=\sum_{i=1}^n\overline{\lambda_i}\lambda_i=\sum_{i=1}^n\vert \lambda_i\vert^2

故得證。

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4 則回應給 每週問題 November 17, 2014

  1. YTC 說道:

    老師,想請教您一個問題,
    本文證明了特徵值平方和 = 所有元平方和;
    那麼如果不是平方,而是高次方的時候,如n次方時,一樣會成立嗎?

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