## 每週問題 November 24, 2014

Let $\mathcal{P}_n$ be an vector space of polynomials of degree at most $n$. Find a basis for the subspace of all polynomials $p(t)$ in $\mathcal{P}_3$ such that $p(1)=p(2)=0$.

$S\subset\mathcal{P}_3$ 表示所有包含根是 $1$$2$ 的三次多項式。每一 $p(t)\in S$ 皆可表示為 $p(t)=(t-1)(t-2)q(t)$，其中 $q(t)\in\mathcal{P}_1$。任意選擇 $\mathcal{P}_1$ 的一組基底，譬如，$\{q_1(t)=1,q_2(t)=t\}$，即得 $S$ 的基函數 $p_1(t)=(t-1)(t-2)q_1(t)=t^2-3t+2$$p_2(t)=(t-1)(t-2)q_2(t)=t^3-3t^2+2t$，故所求為 $\{t^2-3t+2,t^3-3t^2+2t\}$

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