每週問題 December 1, 2014

本週問題是計算一棋盤狀特殊矩陣的特徵多項式。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n matrix, in which a_{ij}=0 if i+j is even, and a_{ij}=1 if i+j is odd. For n\ge 2, find the eigenvalues of A.

 
參考解答:

n=3n=4 為例,A 分別具有下列棋盤型態:

\displaystyle \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0 \end{bmatrix},~~\begin{bmatrix} 0&1&0&1\\ 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 1&0&1&0 \end{bmatrix}

n\ge 2A 有兩個線性獨立的行向量,故 \text{rank}A=2。根據秩─零度定理,\dim N(A)=n-\text{rank}A=n-2,可知當 n>2A 有零特徵值,幾何重數 (geometric multiplicity) 為 n-2。實對稱矩陣 A 可正交對角化,這意味特徵值 0 的代數重數 (algebraic multiplicity) 等於幾何重數,由此推論 A 有2個非零特徵值。另外,跡數等於特徵值之和,\text{trace}A=0 表明 A 的非零特徵值為 \pm\lambda\lambda\neq 0。下面分開兩種情況討論。若 n 是偶數,n=2k,觀察發現 A 的每列和皆為 k。設 n 維向量 \mathbf{x}=(1,1,\ldots,1)^T,可得 A\mathbf{x}=k\mathbf{x},即知 A 有特徵值 \frac{n}{2},另一特徵值則是 -\frac{n}{2}。若 n 是奇數,n=2k+1,觀察可知 A 的奇列和相同,偶列和也相同。仿造先前做法,我們猜測 n 維向量 \mathbf{x}=(a,b,a,b,\ldots,b,a)^T 是一特徵向量,A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}。計算可得 A\mathbf{x}=(kb,(k+1)a,kb,(k+1)a,\ldots,(k+1)a,kb)^T。比較 A\mathbf{x} 的兩個表達式,推得 \lambda a=kb\lambda b=(k+1)a,由此解出兩個非零特徵值 \lambda=\pm\sqrt{k(k+1)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{n^2-1}

 
另一個非零特徵值解法是寫出 A 的秩分解。若 n=2k,以 k=2 為例,

\displaystyle A=XY=\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0\\ 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&0&1 \end{bmatrix}

\displaystyle YX=\begin{bmatrix} 0&2\\ 2&0 \end{bmatrix}。使用這個性質:XYYX 有相同的非零特徵值。對於一般情況 n=2k\displaystyle YX=\begin{bmatrix} 0&k\\ k&0 \end{bmatrix},故 A 的兩個非零特徵值 (即 YX 的特徵值) 為 \pm k,也就是 \pm\frac{n}{2}。若 n=2k+1,以 k=1 為例,

\displaystyle A=XY=\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&0 \end{bmatrix}

YX=\begin{bmatrix} 0&2\\ 1&0 \end{bmatrix}。對於一般情況 n=2k+1\displaystyle YX=\begin{bmatrix} 0&k+1\\ k&0 \end{bmatrix},故 A 的兩個非零特徵值為 \pm \sqrt{k(k+1)},即 \pm\frac{1}{2}\sqrt{n^2-1}

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2 則回應給 每週問題 December 1, 2014

  1. Meiyue Shao 說:

    这里另一种方法是对 A 做满秩分解 A=XY^T,然后算 Y^TX 的特征值。

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