每週問題 December 8, 2014

計算 Leslie 矩陣的特徵多項式。

The Leslie matrix is of the form

\displaystyle    L=\begin{bmatrix}    a_1&a_2&a_3&\cdots&a_{n-1}&a_n\\    b_1&0&0&\cdots&0&0\\  0&b_2&0&\cdots&0&0\\  \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\  0&0&0&\cdots&b_{n-1}&0    \end{bmatrix}.

Show that the characteristic polynomial of L is

\displaystyle    p(\lambda)=\det(\lambda I-L)=\lambda^n-a_1\lambda^{n-1}-a_2b_1\lambda^{n-2}-a_3b_1b_2\lambda^{n-3}-\cdots-a_nb_1b_2\cdots b_{n-1}.

 
參考解答:

連續使用行列式餘因子公式 (或稱 Laplace 公式) 化簡,過程如下:

\displaystyle  \begin{aligned}  p(\lambda)&=\begin{vmatrix}    \lambda-a_1&-a_2&-a_3&\cdots&-a_{n-1}&-a_n\\    -b_1&\lambda&0&\cdots&0&0\\  0&-b_2&\lambda&\cdots&0&0\\  \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\  0&0&0&\cdots&-b_{n-1}&\lambda    \end{vmatrix}\\  &=(\lambda-a_1)\begin{vmatrix}    \lambda&0&\cdots&0&0\\  -b_2&\lambda&\cdots&0&0\\  \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\  0&0&\cdots&-b_{n-1}&\lambda    \end{vmatrix}+b_1\begin{vmatrix}    -a_2&-a_3&\cdots&-a_{n-1}&-a_n\\    -b_2&\lambda&\cdots&0&0\\  \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\  0&0&\cdots&-b_{n-1}&\lambda    \end{vmatrix}\\  &=(\lambda-a_1)\lambda^{n-1}-a_2b_1\begin{vmatrix}    \lambda&0&\cdots&0&0\\  -b_3&\lambda&\cdots&0&0\\  \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\  0&0&\cdots&-b_{n-1}&\lambda    \end{vmatrix}+b_1b_2\begin{vmatrix}    -a_3&-a_4&\cdots&-a_{n-1}&-a_n\\    -b_3&\lambda&\cdots&0&0\\  \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\  0&0&\cdots&-b_{n-1}&\lambda    \end{vmatrix}\\  &=\lambda^{n}-a_1\lambda^{n-1}-a_2b_1\lambda^{n-2}+b_1b_2\begin{vmatrix}    -a_3&-a_4&\cdots&-a_{n-1}&-a_n\\    -b_3&\lambda&\cdots&0&0\\  \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\  0&0&\cdots&-b_{n-1}&\lambda    \end{vmatrix}\\  &=\lambda^{n}-a_1\lambda^{n-1}-a_2b_1\lambda^{n-2}-a_3b_1b_2\lambda^{n-3}+b_1b_2b_3\begin{vmatrix}    -a_4&-a_5&\cdots&-a_{n-1}&-a_n\\    -b_4&\lambda&\cdots&0&0\\  \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\  0&0&\cdots&-b_{n-1}&\lambda    \end{vmatrix}\\  &=\cdots\\  &=\lambda^n-a_1\lambda^{n-1}-a_2b_1\lambda^{n-2}-a_3b_1b_2\lambda^{n-3}-\cdots-a_nb_1b_2\cdots b_{n-1}.  \end{aligned}

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One Response to 每週問題 December 8, 2014

  1. Meiyue Shao 說道:

    这个问题和Frobenius友阵类似,按照最后一列(column)展开会相对方便一些,正负号不易出错,而且可以直接用归纳法。

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