每週問題 December 22, 2014

Posted on 12/22/2014 by ccjou

這是 Hermitian 矩陣的一個充分條件證明問題 (事實上，這是一個充要條件)。

Let A be an n\times n complex matrix. Show that if \mathbf{x}^\ast A\mathbf{x} is real for every \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n, then A^\ast=A.

 
參考解答：

令 a_{ij} 表示 A 的第 (i,j) 元。設 \mathbf{x} 為標準單位向量 \mathbf{e}_i，其中第 i 元為 1，其餘元為 0，立得 \mathbf{e}_i^\ast A\mathbf{e}_i=a_{ii}\in\mathbb{R}，1\le i\le n。再設 \mathbf{x}=\mathbf{e}_i+c\mathbf{e}_j，i\neq j，c\in\mathbb{C}，則

\displaystyle\begin{aligned} (\mathbf{e}_i+c\mathbf{e}_j)^\ast A(\mathbf{e}_i+c\mathbf{e}_j) &=\mathbf{e}_i^\ast A\mathbf{e}_i+c\mathbf{e}_i^\ast A\mathbf{e}_j+\overline{c}\mathbf{e}_j^\ast A\mathbf{e}_i+c\overline{c}\mathbf{e}_j^\ast A\mathbf{e}_j\\ &=a_{ii}+ca_{ij}+\overline{c}a_{ji}+\vert c\vert^2 a_{jj}.\end{aligned}

因為 a_{ii} 和 \vert c\vert^2 a_{jj} 是實數，可知 ca_{ij}+\overline{c}a_{ji} 也是實數，故

\displaystyle ca_{ij}+\overline{c}a_{ji}=\overline{ca_{ij}+\overline{c}a_{ji}}=\overline{c}~\overline{a_{ij}}+c\overline{a_{ji}}。

但 c 是任意複數，推得 \overline{a_{ji}}=a_{ij}，i\neq j。合併以上結果，證明 A^\ast=A。

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