每週問題 December 22, 2014

這是 Hermitian 矩陣的一個充分條件證明問題 (事實上,這是一個充要條件)。

Let A be an n\times n complex matrix. Show that if \mathbf{x}^\ast A\mathbf{x} is real for every \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n, then A^\ast=A.

 
參考解答:

a_{ij} 表示 A 的第 (i,j) 元。設 \mathbf{x} 為標準單位向量 \mathbf{e}_i,其中第 i 元為 1,其餘元為 0,立得 \mathbf{e}_i^\ast A\mathbf{e}_i=a_{ii}\in\mathbb{R}1\le i\le n。再設 \mathbf{x}=\mathbf{e}_i+c\mathbf{e}_ji\neq jc\in\mathbb{C},則

\displaystyle\begin{aligned}  (\mathbf{e}_i+c\mathbf{e}_j)^\ast A(\mathbf{e}_i+c\mathbf{e}_j)  &=\mathbf{e}_i^\ast A\mathbf{e}_i+c\mathbf{e}_i^\ast A\mathbf{e}_j+\overline{c}\mathbf{e}_j^\ast A\mathbf{e}_i+c\overline{c}\mathbf{e}_j^\ast A\mathbf{e}_j\\  &=a_{ii}+ca_{ij}+\overline{c}a_{ji}+\vert c\vert^2 a_{jj}.\end{aligned}

因為 a_{ii}\vert c\vert^2 a_{jj} 是實數,可知 ca_{ij}+\overline{c}a_{ji} 也是實數,故

\displaystyle  ca_{ij}+\overline{c}a_{ji}=\overline{ca_{ij}+\overline{c}a_{ji}}=\overline{c}~\overline{a_{ij}}+c\overline{a_{ji}}

c 是任意複數,推得 \overline{a_{ji}}=a_{ij}i\neq j。合併以上結果,證明 A^\ast=A

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