每週問題 December 29, 2014

這是最小平方法應用於矩陣之線性變換的問題。

Let \mathbb{R}^{2\times 2} be the vector space formed by 2\times 2 real matrices. Let A=\begin{bmatrix}  1&2\\  0&1  \end{bmatrix} and B=\begin{bmatrix}  0&1\\  1&1  \end{bmatrix}. Consider the following transformation from \mathbb{R}^{2\times 2} to \mathbb{R}^{2\times 2}:

\displaystyle  T(X)=XA-AX.

Determine a matrix \hat{X} that minimizes \Vert T(\hat{X})-B\Vert_F, where \Vert\cdot\Vert_F denotes Frobenius norm.

 
參考解答:

X=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix},則

\displaystyle   T(X)=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1&2\\  0&1  \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}  1&2\\  0&1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  -2c&2a-2d\\  0&2c  \end{bmatrix}

考慮 \mathbb{R}^{2\times 2} 的一有序基底

\displaystyle   \boldsymbol{\beta}=\{V_1,V_2,V_3,V_4\}=\left\{\begin{bmatrix}  1&0\\  0&0  \end{bmatrix},\begin{bmatrix}  0&1\\  0&0  \end{bmatrix},\begin{bmatrix}  0&0\\  1&0  \end{bmatrix},\begin{bmatrix}  0&0\\  0&1  \end{bmatrix}\right\}

計算基底向量的像,可得

\displaystyle     T(V_1)=\begin{bmatrix}  0&2\\  0&0  \end{bmatrix},~T(V_2)=\begin{bmatrix}  0&0\\  0&0  \end{bmatrix},~T(V_3)=\left[\!\!\begin{array}{rc}  -2&0\\  0&2  \end{array}\!\!\right],~T(V_4)=\left[\!\!\begin{array}{cr}  0&-2\\  0&0  \end{array}\!\!\right]

故線性變換 T 參考基底 \boldsymbol{\beta} 的表示矩陣為

\displaystyle   \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  T(V_1)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&  \begin{bmatrix}  T(V_2)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&  \begin{bmatrix}  T(V_3)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&  \begin{bmatrix}  T(V_4)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{ccrr}  0&0&-2&0\\  2&0&0&-2\\  0&0&0&0\\  0&0&2&0  \end{array}\!\!\right]

我們的目標是在 T 的值域尋得一矩陣 Z 使得 \Vert Z-B\Vert_F 最小,也就是在 [T]_{\boldsymbol{\beta}} 的行空間 (column space),即 T 的值域所對應的座標向量集,尋得一座標向量 [Z]_{\boldsymbol{\beta}} 使得 \Vert[Z-B]_{\boldsymbol{\beta}}\Vert=\Vert  [Z]_{\boldsymbol{\beta}}-[B]_{\boldsymbol{\beta}}\Vert 最小。觀察立知 [T]_{\boldsymbol{\beta}} 的行空間的一組基底為 \{\mathbf{u}_1=(0,1,0,0)^T,\mathbf{u}_2=(-1,0,0,1)^T\},且 \mathbf{u}_1\perp\mathbf{u}_2,故 [Z]_{\boldsymbol{\beta}} 即為 \mathbf{b}=[B]_{\boldsymbol{\beta}}=(0,1,1,1)^T\text{span}\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\} 的正交投影,如下:

\displaystyle   [Z]_{\boldsymbol{\beta}}=\frac{\mathbf{u}_1^T\mathbf{b}}{\mathbf{u}_1^T\mathbf{u}_1}\mathbf{u}_1+\frac{\mathbf{u}_2^T\mathbf{b}}{\mathbf{u}_2^T\mathbf{u}_2}\mathbf{u}_2=\frac{1}{1}\begin{bmatrix}  0\\  1\\  0\\  0  \end{bmatrix}+\frac{1}{2}\left[\!\!\begin{array}{r}  -1\\  0\\  0\\  1  \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{r}  -\frac{1}{2}\\  1\\  0\\  \frac{1}{2}  \end{array}\!\!\right]

\hat{X}=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix} 使得 T(\hat{X})=\left[\!\!\begin{array}{rc}  -\frac{1}{2}&1\\  0&\frac{1}{2}  \end{array}\!\!\right]。比較 T(\hat{X}) 的矩陣表達式,可得 2c=1/22a-2d=1,解出 c=1/4d=(2a-1)/2,所求為 \hat{X}=\begin{bmatrix}  a&b\\  \frac{1}{4}&\frac{2a-1}{2}  \end{bmatrix},其中 ab 是任意數。

Advertisements
本篇發表於 pow 內積空間, 每週問題 並標籤為 , 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s