每週問題 January 5, 2015

這是2008年台大資訊所的碩士班入學試題。

Let \mathbf{u}=(1,-1,-1,1,1)^T. Determine (I+2\mathbf{u}\mathbf{u}^T)(I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)^{-1}\mathbf{u}.

 
參考解答:

解法一:令 \mathbf{x}=(I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)^{-1}\mathbf{u}。等號兩邊同時左乘 I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T,可得 (I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\mathbf{x}=\mathbf{x}+\mathbf{u}(\mathbf{u}^T\mathbf{x})=\mathbf{u},即有 \mathbf{x}=(1-\mathbf{u}^T\mathbf{x})\mathbf{u}。令 \mathbf{x}=k\mathbf{u}。代回上式整理後得到 k=1-k\Vert\mathbf{u}\Vert^2,再代入 \Vert\mathbf{u}\Vert^2=\mathbf{u}^T\mathbf{u}=5,解出 k=\frac{1}{6},故所求為

\displaystyle    \left(I+2\mathbf{u}\mathbf{u}^T\right)\mathbf{x}=\left(I+2\mathbf{u}\mathbf{u}^T\right)\frac{1}{6}\mathbf{u}=\frac{1}{6}\left(\mathbf{u}+2\mathbf{u}(\mathbf{u}^T\mathbf{u})\right)=\frac{11}{6}\mathbf{u}=\frac{11}{6}\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -1\\  -1\\  1\\  1  \end{array}\!\!\right]

解法二:將給定 \mathbf{u} 代入計算 (I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\mathbf{u}=\mathbf{u}+\mathbf{u}(\mathbf{u}^T\mathbf{u})=\mathbf{u}+5\mathbf{u}=6\mathbf{u},說明矩陣 I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T 有特徵值 6,對應特徵向量 \mathbf{u}。因此,(I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)^{-1} 有特徵值 \frac{1}{6},對應特徵向量 \mathbf{u},即 (I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)^{-1}\mathbf{u}=\frac{1}{6}\mathbf{u}。如解法一計算即得所求。

解法三:觀察可知 I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T 為基本矩陣 (elementary matrix),其逆矩陣亦為基本矩陣。設 (I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)^{-1}=I+c\mathbf{u}\mathbf{u}^T,則

\displaystyle\begin{aligned}  I&=(I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)^{-1}(I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\\  &=(I+c\mathbf{u}\mathbf{u}^T)(I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\\  &=I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T+c\mathbf{u}\mathbf{u}^T+c\mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{u}\mathbf{u}^T\\  &=I+(1+6c)\mathbf{u}\mathbf{u}^T.  \end{aligned}

解出 c=-\frac{1}{6}。所求為

\displaystyle\begin{aligned}  (I+2\mathbf{u}\mathbf{u}^T)(I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)^{-1}\mathbf{u}  &=(I+2\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\left(I-\frac{1}{6}\mathbf{u}\mathbf{u}^T\right)\mathbf{u}\\  &=(I+2\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\left(\mathbf{u}-\frac{1}{6}\mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{u}\right)\\  &=(I+2\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\frac{1}{6}\mathbf{u}\\  &=\frac{11}{6}\mathbf{u}.  \end{aligned}

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