答Eden──關於么正矩陣的冪

網友Eden留言:

老師您好,最近因為研究上發現 unitary 矩陣的一個現象:假設 A 為一個 n\times n 的 unitary 矩陣,Am 次方 (m 為某個 n 的倍數) 必定會變成單位矩陣。自己一直從 unitary 的特徵值 (特徵值大小都會是1) 變化去思考,但目前還是只知道次方項 m 會是 n 的倍數,想了解 mn 之間的確切關係。不知道老師對我提的問題是否清楚,方便給點提示或是思考方向之類的嗎?

 
答曰:

A 為一 n\times n 階么正矩陣 (unitary matrix,也稱為單式矩陣或酉矩陣),滿足 A^{\ast}A=AA^{\ast}=I。你聲稱若 mn 的倍數,則 A^m=I。這個命題並不為真,舉一例說明。考慮平面上逆時針轉角為 \theta 的二階旋轉矩陣

\displaystyle  R=\left[\!\!\begin{array}{cr}  \cos\theta&-\sin\theta\\  \sin\theta&\cos\theta  \end{array}\!\!\right]

因為 R^T=R^{-1}R 是實正交矩陣 (orthogonal matrix),即實么正矩陣。旋轉矩陣 R 的冪為

\displaystyle  R^m=\left[\!\!\begin{array}{cr}  \cos(m\theta)&-\sin(m\theta)\\  \sin(m\theta)&\cos(m\theta)  \end{array}\!\!\right],~~m=1,2,\ldots

此即逆時針轉角為 m\theta 的旋轉矩陣。注意 R^m=I 發生於 m\theta=2k\pi (k 為一整數),顯然與矩陣的階數 n=2 無關。當 \theta=a\pia 為一無理數時,不存在正整數 m 使得 R^m=I

 
雖然你提出的論述不成立,但我們不妨反過來問:n\times n 階么正矩陣 A 必須具備甚麼條件方存在一正整數 m 使得 A^m=I?利用矩陣對角化可回答這個問題。么正矩陣 A 滿足 A^\ast A=AA^\ast,說明 A 是正規矩陣 (normal matrix)。可么正對角化 (unitarily diagonalizable) 是正規矩陣的一個重要的界定性質 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”),亦即么正矩陣 A 可分解為 A=UDU^\ast,其中 U 是一么正矩陣,D 是由 A 的特徵值組成的對角矩陣。再者,么正矩陣 A 的特徵值的絕對值等於 1 (見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”),故可設 D=\text{diag}(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n}),其中 \theta_1,\ldots,\theta_n\in\mathbb{R}i=\sqrt{-1}。因此,

\displaystyle  A^m=(UDU^\ast)^m=UD^mU^{\ast}=U\begin{bmatrix}  e^{im\theta_1}&&\\  &\ddots&\\  &&e^{im\theta_n}  \end{bmatrix}U^\ast

上式表明 A^m=I 等價於 D^m=\text{diag}(e^{im\theta_n},\ldots,e^{im\theta_n})=U^\ast A^mU=U^\ast U=I,即 e^{im\theta_j}=\cos(m\theta_j)+i\sin(m\theta_j)=1j=1,\ldots,n。所以,如果么正矩陣 A 的特徵值為 e^{2\pi ik_j/m},其中 k_j 為整數,j=1,\ldots,n,則 A^m=I。譬如,若 A 的特徵值皆為實數,即每一 e^{i\theta_j}=\pm 1,則 A^2=I

This entry was posted in 特徵分析, 答讀者問 and tagged , , . Bookmark the permalink.

2 則回應給 答Eden──關於么正矩陣的冪

  1. Eden 說:

    謝謝老師說明

    不過在這我還有個疑問,就是說要判斷是否存在正整數 m 使得 么正矩陣 A 的 m 次方位單位矩陣,
    以上面例子為例,只能從特徵值中判斷 a (theta 除 pi) 是否為無理數,再決定 m 是否存在嗎?

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

你正使用 WordPress.com 帳號留言。 登出 / 變更 )

Twitter picture

你正使用 Twitter 帳號留言。 登出 / 變更 )

Facebook照片

你正使用 Facebook 帳號留言。 登出 / 變更 )

Google+ photo

你正使用 Google+ 帳號留言。 登出 / 變更 )

連結到 %s