答Eden──關於么正矩陣的冪

網友Eden留言：

老師您好，最近因為研究上發現 unitary 矩陣的一個現象：假設 $A$ 為一個 $n\times n$ 的 unitary 矩陣， $A$ 的 $m$ 次方 ( $m$ 為某個 $n$ 的倍數) 必定會變成單位矩陣。自己一直從 unitary 的特徵值 (特徵值大小都會是1) 變化去思考，但目前還是只知道次方項 $m$ 會是 $n$ 的倍數，想了解 $m$ 和 $n$ 之間的確切關係。不知道老師對我提的問題是否清楚，方便給點提示或是思考方向之類的嗎?

答曰：

令 $A$ 為一 $n\times n$ 階么正矩陣 (unitary matrix，也稱為單式矩陣或酉矩陣)，滿足 $A^{\ast}A=AA^{\ast}=I$ 。你聲稱若 $m$ 是 $n$ 的倍數，則 $A^m=I$ 。這個命題並不為真，舉一例說明。考慮平面上逆時針轉角為 $\theta$ 的二階旋轉矩陣

$\displaystyle R=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array}\!\!\right]$ 。

因為 $R^T=R^{-1}$ ， $R$ 是實正交矩陣 (orthogonal matrix)，即實么正矩陣。旋轉矩陣 $R$ 的冪為

$\displaystyle R^m=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos(m\theta)&-\sin(m\theta)\\ \sin(m\theta)&\cos(m\theta) \end{array}\!\!\right],~~m=1,2,\ldots$ ，

此即逆時針轉角為 $m\theta$ 的旋轉矩陣。注意 $R^m=I$ 發生於 $m\theta=2k\pi$ ( $k$ 為一整數)，顯然與矩陣的階數 $n=2$ 無關。當 $\theta=a\pi$ 且 $a$ 為一無理數時，不存在正整數 $m$ 使得 $R^m=I$ 。

雖然你提出的論述不成立，但我們不妨反過來問： $n\times n$ 階么正矩陣 $A$ 必須具備甚麼條件方存在一正整數 $m$ 使得 $A^m=I$ ？利用矩陣對角化可回答這個問題。么正矩陣 $A$ 滿足 $A^\ast A=AA^\ast$ ，說明 $A$ 是正規矩陣 (normal matrix)。可么正對角化 (unitarily diagonalizable) 是正規矩陣的一個重要的界定性質 (見“特殊矩陣 (2)：正規矩陣”)，亦即么正矩陣 $A$ 可分解為 $A=UDU^\ast$ ，其中 $U$ 是一么正矩陣， $D$ 是由 $A$ 的特徵值組成的對角矩陣。再者，么正矩陣 $A$ 的特徵值的絕對值等於 $1$ (見“特殊矩陣 (3)：么正矩陣 (酉矩陣)”)，故可設 $D=\text{diag}(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n})$ ，其中 $\theta_1,\ldots,\theta_n\in\mathbb{R}$ 且 $i=\sqrt{-1}$ 。因此，

$\displaystyle A^m=(UDU^\ast)^m=UD^mU^{\ast}=U\begin{bmatrix} e^{im\theta_1}&&\\ &\ddots&\\ &&e^{im\theta_n} \end{bmatrix}U^\ast$ 。

上式表明 $A^m=I$ 等價於 $D^m=\text{diag}(e^{im\theta_n},\ldots,e^{im\theta_n})=U^\ast A^mU=U^\ast U=I$ ，即 $e^{im\theta_j}=\cos(m\theta_j)+i\sin(m\theta_j)=1$ ， $j=1,\ldots,n$ 。所以，如果么正矩陣 $A$ 的特徵值為 $e^{2\pi ik_j/m}$ ，其中 $k_j$ 為整數， $j=1,\ldots,n$ ，則 $A^m=I$ 。譬如，若 $A$ 的特徵值皆為實數，即每一 $e^{i\theta_j}=\pm 1$ ，則 $A^2=I$ 。

2 Responses to 答Eden──關於么正矩陣的冪

Eden says:

01/07/2015 at 10:58 am

謝謝老師說明

不過在這我還有個疑問，就是說要判斷是否存在正整數 m 使得么正矩陣 A 的 m 次方位單位矩陣，
以上面例子為例，只能從特徵值中判斷 a (theta 除 pi) 是否為無理數，再決定 m 是否存在嗎?

- ccjou says:
  
  01/07/2015 at 11:18 am
  
  對，如果特徵值為 $e^{i\pi\frac{p}{q}}$ ， $p,q$ 是整數，則存在正整數 $m$ 使得 $\frac{p}{q}m=2k$ ， $k$ 是整數，即有 $A^m=I$ 。

	陳倍恩 on 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義
	輕鬆談如何教學二項式定理？… on 牛頓的二項式定理 (上)
	madhouse on 高斯消去法
	WishMobile on 翻轉 LU 分解
	周子傑 on Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件
	Cloud Huang on 線性泛函與伴隨