利用 Householder 變換證明 Schur 定理

Posted on 01/12/2015 by ccjou

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任何一個 n\times n 階矩陣 A 皆相似於一上三角矩陣 T，其中 T 的主對角元為 A 的特徵值，且必存在一么正矩陣 (unitary matrix) U 滿足 U^\ast=U^{-1} (見“特殊矩陣 (3)：么正矩陣 (酉矩陣)”)，使得 U^\ast AU=T。簡單講，任一方陣皆么正相似於一上三角矩陣，或者說任一方陣定可么正三角化，此事實稱為 Schur 定理。我們曾以 Gram-Schmidt 正交化程序設計了建構式證明 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”)，本文介紹一個利用 Householder 變換的歸納證法。

 
若 n=1，原命題自然成立。對於 n>1，假設每一 (n-1)\times(n-1) 階矩陣皆么正相似於一上三角矩陣。令 A 為一 n\times n 階矩陣。設 A 有特徵值 \lambda，對應特徵向量 \mathbf{x}，\Vert\mathbf{x}\Vert=1。令 H 為一 Householder 矩陣，即基本鏡射矩陣，使得 H\mathbf{x}=\mathbf{e}_1，其中 \mathbf{e}_1=(1,0,\ldots,0)^T 是第一個標準單位向量 (詳細推導見“特殊矩陣 (4)：Householder 矩陣”)。Householder 矩陣滿足 H=H^\ast=H^{-1}，立知 H^2=HH^{-1}=I，也就是說 H 是 Hermitian 矩陣、么正矩陣，以及對合矩陣 (involutory matrix)。因此，\mathbf{x}=H\mathbf{e}_1，這說明 H 的第一行 (column) 即為 \mathbf{x}。寫出 H=\begin{bmatrix} \mathbf{x}&Y \end{bmatrix}，其中 Y 是 n\times(n-1) 階分塊。套用以上等式，可得

\displaystyle\begin{aligned} H^\ast AH&=H^\ast A\begin{bmatrix} \mathbf{x}&Y \end{bmatrix}=H^\ast\begin{bmatrix} A\mathbf{x}&AY \end{bmatrix}\\ &=H^\ast\begin{bmatrix} \lambda\mathbf{x}&AY \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda H\mathbf{x}&H^\ast AY \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \lambda\mathbf{e}_1&\begin{bmatrix} \mathbf{x}^\ast\\ Y^\ast \end{bmatrix}AY \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda&\mathbf{x}^\ast AY\\ 0&Y^\ast AY \end{bmatrix}.\end{aligned}

上式中，Y^\ast AY 是 (n-1)\times(n-1) 階分塊，根據歸納假設，存在一么正矩陣 Q 使得 Q^\ast(Y^\ast AY)Q=R 為一上三角矩陣。定義 n\times n 階矩陣 U=H\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&Q \end{bmatrix}。直接計算可證明 U 是一么正矩陣，如下：

\displaystyle\begin{aligned} U^\ast U&=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&Q^\ast \end{bmatrix}H^\ast H\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&Q \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&Q^\ast \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&Q \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&Q^\ast Q \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&I_{n-1} \end{bmatrix}=I_n.\end{aligned}

合併以上結果，推得

\displaystyle\begin{aligned} U^\ast AU&=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&Q^\ast \end{bmatrix}H^\ast AH\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&Q \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&Q^\ast \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda&\mathbf{x}^\ast AY\\ 0&Y^\ast AY \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&Q \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \lambda&\mathbf{x}^\ast AYQ\\ 0&Q^\ast Y^\ast AYQ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda&\mathbf{x}^\ast AYQ\\ 0&R \end{bmatrix}=T. \end{aligned}

因為 R 是上三角分塊，證明 T 是上三角矩陣，主對角元為其特徵值。再者，A 相似於 T，二相似矩陣擁有相同的特徵值，故 T 的主對角元即為 A 的特徵值。

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