利用 Householder 變換證明 Schur 定理

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任何一個 n\times n 階矩陣 A 皆相似於一上三角矩陣 T,其中 T 的主對角元為 A 的特徵值,且必存在一么正矩陣 (unitary matrix) U 滿足 U^\ast=U^{-1} (見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”),使得 U^\ast AU=T。簡單講,任一方陣皆么正相似於一上三角矩陣,或者說任一方陣定可么正三角化,此事實稱為 Schur 定理。我們曾以 Gram-Schmidt 正交化程序設計了建構式證明 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”),本文介紹一個利用 Householder 變換的歸納證法。

 
n=1,原命題自然成立。對於 n>1,假設每一 (n-1)\times(n-1) 階矩陣皆么正相似於一上三角矩陣。令 A 為一 n\times n 階矩陣。設 A 有特徵值 \lambda,對應特徵向量 \mathbf{x}\Vert\mathbf{x}\Vert=1。令 H 為一 Householder 矩陣,即基本鏡射矩陣,使得 H\mathbf{x}=\mathbf{e}_1,其中 \mathbf{e}_1=(1,0,\ldots,0)^T 是第一個標準單位向量 (詳細推導見“特殊矩陣 (4):Householder 矩陣”)。Householder 矩陣滿足 H=H^\ast=H^{-1},立知 H^2=HH^{-1}=I,也就是說 H 是 Hermitian 矩陣、么正矩陣,以及對合矩陣 (involutory matrix)。因此,\mathbf{x}=H\mathbf{e}_1,這說明 H 的第一行 (column) 即為 \mathbf{x}。寫出 H=\begin{bmatrix}  \mathbf{x}&Y  \end{bmatrix},其中 Yn\times(n-1) 階分塊。套用以上等式,可得

\displaystyle\begin{aligned}  H^\ast AH&=H^\ast A\begin{bmatrix}  \mathbf{x}&Y  \end{bmatrix}=H^\ast\begin{bmatrix}  A\mathbf{x}&AY  \end{bmatrix}\\  &=H^\ast\begin{bmatrix}  \lambda\mathbf{x}&AY  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \lambda H\mathbf{x}&H^\ast AY  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  \lambda\mathbf{e}_1&\begin{bmatrix}  \mathbf{x}^\ast\\  Y^\ast  \end{bmatrix}AY  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \lambda&\mathbf{x}^\ast AY\\  0&Y^\ast AY  \end{bmatrix}.\end{aligned}

上式中,Y^\ast AY(n-1)\times(n-1) 階分塊,根據歸納假設,存在一么正矩陣 Q 使得 Q^\ast(Y^\ast AY)Q=R 為一上三角矩陣。定義 n\times n 階矩陣 U=H\begin{bmatrix}  1&0\\  0&Q  \end{bmatrix}。直接計算可證明 U 是一么正矩陣,如下:

\displaystyle\begin{aligned}  U^\ast U&=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&Q^\ast  \end{bmatrix}H^\ast H\begin{bmatrix}  1&0\\  0&Q  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&Q^\ast  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1&0\\  0&Q  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&Q^\ast Q  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&I_{n-1}  \end{bmatrix}=I_n.\end{aligned}

合併以上結果,推得

\displaystyle\begin{aligned}  U^\ast AU&=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&Q^\ast  \end{bmatrix}H^\ast AH\begin{bmatrix}  1&0\\  0&Q  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&Q^\ast  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}  \lambda&\mathbf{x}^\ast AY\\  0&Y^\ast AY  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1&0\\  0&Q  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  \lambda&\mathbf{x}^\ast AYQ\\  0&Q^\ast Y^\ast AYQ  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \lambda&\mathbf{x}^\ast AYQ\\  0&R  \end{bmatrix}=T.  \end{aligned}

因為 R 是上三角分塊,證明 T 是上三角矩陣,主對角元為其特徵值。再者,A 相似於 T,二相似矩陣擁有相同的特徵值,故 T 的主對角元即為 A 的特徵值。

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