每週問題 January 26, 2015

證明 n\times n 階對合矩陣 (involutory matrix) 與冪等矩陣 (idempotent matrix) 具有一對一的關係。

A matrix satisfying A^2=I is said to be an involutory matrix, and a matrix B satisfying B^2=B is said to be an idempotent matrix. Show that there is a one-to-one correspondence between the set of n\times n involutory matrices and the set of n\times n idempotent matrices.

 
參考解答:

回想 Householder 矩陣的定義式 H=I-2\frac{\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast}{\mathbf{u}^\ast\mathbf{u}}。不難驗證 H^2=I,故 H 為對合矩陣。令 P=\frac{\mathbf{u}\mathbf{u}^\ast}{\mathbf{u}^\ast\mathbf{u}}。計算可確認 P^2=P,故 P 為冪等矩陣。我們推測對合矩陣 A 和冪等矩陣 B 具有一對一的關係 A=I-2B。證明於下:若 B^2=B,則

A^2=(I-2B)^2=I-4B+4B^2=I

A^2=I,則

\displaystyle  B^2=\left(\frac{I-A}{2}\right)^2=\frac{I-2A+A^2}{4}=\frac{I-A}{2}=B

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