## 每週問題 February 9, 2015

If $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$, show that

$\displaystyle \Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert_2=\Vert\mathbf{u}\Vert \Vert\mathbf{v}\Vert=\Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert_F$,

where $\Vert\cdot\Vert_2$ is the 2-norm and $\Vert\cdot\Vert_F$ is the Frobenius norm.

$\displaystyle \Vert A\Vert_2=\max_{\mathbf{x}\neq\mathbf{0}}\frac{\Vert A\mathbf{x}\Vert}{\Vert\mathbf{x}\Vert}=\max_{\Vert\mathbf{x}\Vert=1}\Vert A\mathbf{x}\Vert$

\displaystyle\begin{aligned} \Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert_2&=\Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\mathbf{x}_0\Vert=\Vert\mathbf{u}\Vert\vert \mathbf{v}^T\mathbf{x}_0\vert\\ &\le \Vert\mathbf{u}\Vert\Vert\mathbf{v}\Vert\Vert\mathbf{x}_0\Vert=\Vert\mathbf{u}\Vert\Vert\mathbf{v}\Vert. \end{aligned}

\displaystyle\begin{aligned} \Vert\mathbf{u}\Vert\Vert\mathbf{v}\Vert&=\Vert\mathbf{u}\Vert \frac{\Vert\mathbf{v}\Vert^2}{\Vert\mathbf{v}\Vert}=\Vert\mathbf{u}\Vert \frac{\mathbf{v}^T\mathbf{v}}{\Vert\mathbf{v}\Vert}\\ &=\frac{\Vert\mathbf{u}(\mathbf{v}^T\mathbf{v})\Vert}{\Vert\mathbf{v}\Vert}=\left\|\mathbf{u}\mathbf{v}^T\frac{\mathbf{v}}{\Vert\mathbf{v}\Vert}\right\|\\ &\le\max_{\Vert\mathbf{x}\Vert=1}\Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert_2. \end{aligned}

\displaystyle\begin{aligned} \Vert \mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert^2_F&=\text{trace}\left((\mathbf{u}\mathbf{v}^T)^T(\mathbf{u}\mathbf{v}^T)\right)=\text{trace}(\mathbf{v}\mathbf{u}^T\mathbf{u}\mathbf{v}^T)\\ &=\text{trace}(\mathbf{u}^T\mathbf{u}\mathbf{v}^T\mathbf{v})=\text{trace}(\Vert\mathbf{u}\Vert^2\Vert\mathbf{v}\Vert^2)=\Vert\mathbf{u}\Vert^2\Vert\mathbf{v}\Vert^2. \end{aligned}

$\displaystyle \Vert A\Vert_2=\sigma_1,~~\Vert A\Vert_F=\sqrt{\sigma_1^2+\cdots+\sigma_r^2}$

$\mathbf{u}$$\mathbf{v}$ 為非零向量，則 $\text{rank}(\mathbf{u}\mathbf{v}^T)=1$，可知 $\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ 的非零奇異值為 $\sigma_1$，故 $\Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert_2=\Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert_F=\sigma_1$。若 $\mathbf{u}$$\mathbf{v}$ 為零向量，則 $\text{rank}(\mathbf{u}\mathbf{v}^T)=0$，即有 $\Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert_2=\Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert_F=0$

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### 5 則回應給 每週問題 February 9, 2015

1. Meiyue Shao 說：

这题最好是用奇异值和范数的关系来理解，对技巧的依赖也比较少。另外，归一化条件 $v^Tu=1$ 不需要。

• ccjou 說：

What’s the rush? We’ve got plenty of time.

我需要時間慢慢看你的回應。

• ccjou 說：

是的，$\mathbf{u}^T\mathbf{v}=1$ 的條件多餘，已經移除，並補充採用奇異值的證明。

• Meiyue Shao 說：

小细节：一般来讲奇异值最好写成 $n$ 个而不是 $r$ 个，这样会比较方便。还有“秩一矩阵”有时也包含零矩阵（ $\mathrm{rank}(uv^T)\leq1$）。

• ccjou 說：

謝謝，我漏打了後面為零的奇異值，已補上。另，$\text{rank}(uv^T=1)$ 前面已經假設 $u,v$ 不為零向量。