每週問題 February 16, 2015

這是關於線性獨立的左特徵向量集問題。

Let \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k\} be a set of linearly independent eigenvectors for an n\times n matrix A corresponding to respective eigenvalues \lambda_1,\ldots,\lambda_k. Let X be any n\times (n-k) matrix such that S=\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_k&X  \end{bmatrix} is nonsingular. Show that if S^{-1}=\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1^\ast\\  \vdots\\  \mathbf{y}_k^\ast\\  Y^\ast  \end{bmatrix}, where \mathbf{y}_i^\ast are 1\times n and Y^\ast is (n-k)\times n, then \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_k\} is a set of linearly independent left eigenvectors associated with \lambda_1,\ldots,\lambda_k, respectively, i.e., \mathbf{y}_i^\ast A=\lambda_i\mathbf{y}_i^\ast, 1\le i\le k.

 
參考解答:

考慮 S^{-1}S=I,詳細如下:

\displaystyle  \begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1^\ast\\  \vdots\\  \mathbf{y}_k^\ast\\  Y^\ast  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_k&X  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1^\ast\mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{y}_1^\ast\mathbf{x}_k&\mathbf{y}_1^\ast X\\  \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  \mathbf{y}_k^\ast\mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{y}_k^\ast\mathbf{x}_k&\mathbf{y}_k^\ast X\\  Y^\ast\mathbf{x}_1&\cdots&Y^\ast\mathbf{x}_k&Y^\ast X\\  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&&&\\  &\ddots&&\\  &&1&\\  &&&I_{n-k}  \end{bmatrix}

比較等號兩邊,可得 \mathbf{y}_i^\ast\mathbf{x}_j=\left\{\begin{array}{ll}  1&i=j\\  0&i\neq j  \end{array}\right.\mathbf{y}_i^\ast X=0,以及 Y^\ast\mathbf{x}_j=01\le i,j\le k。所以,

\displaystyle\begin{aligned}  S^{-1}AS&=\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1^\ast\\  \vdots\\  \mathbf{y}_k^\ast\\  Y^\ast  \end{bmatrix}A\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_k&X  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1^\ast\\  \vdots\\  \mathbf{y}_k^\ast\\  Y^\ast  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  A\mathbf{x}_1&\cdots&A\mathbf{x}_k&AX  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1^\ast\\  \vdots\\  \mathbf{y}_k^\ast\\  Y^\ast  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \lambda_1\mathbf{x}_1&\cdots&\lambda_k\mathbf{x}_k&AX  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \lambda_1&&&\\  &\ddots&&\\  &&\lambda_k&\\  &&&Y^\ast AX  \end{bmatrix}=B.  \end{aligned}

上式右乘 S^{-1},可得 S^{-1}A=BS^{-1},等號左邊是

\displaystyle  S^{-1}A=\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1^\ast\\  \vdots\\  \mathbf{y}_k^\ast\\  Y^\ast  \end{bmatrix}A=\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1^\ast A\\  \vdots\\  \mathbf{y}_k^\ast A\\  Y^\ast A  \end{bmatrix}

等號右邊是

\displaystyle  BS^{-1}=\begin{bmatrix}  \lambda_1&&&\\  &\ddots&&\\  &&\lambda_k&\\  &&&Y^\ast AX  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1^\ast\\  \vdots\\  \mathbf{y}_k^\ast\\  Y^\ast  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \lambda_1\mathbf{y}_1^\ast\\  \vdots\\  \lambda_k\mathbf{y}_k^\ast\\  Y^\ast AXY^\ast  \end{bmatrix}

比較上面兩式的前 k 個列 (row) 即證得所求。

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