每週問題 March 2, 2015

這是關於實正交矩陣的特徵向量性質。

Let A be a real orthogonal matrix, i.e., A is real and AA^T=A^TA=I. Let \lambda be an eigenvalue of A and \mathbf{z}=\mathbf{x}+i\mathbf{y} be a corresponding eigenvector, where \mathbf{x} and \mathbf{y} are real vectors. If \lambda is not real, show that \mathbf{x}^T\mathbf{y}=0 and \mathbf{x}^T\mathbf{x}=\mathbf{y}^T\mathbf{y}.

 
參考解答:

證明1:令 A\mathbf{z}=\lambda\mathbf{z}\lambda=a+ib\mathbf{z}=\mathbf{x}+i\mathbf{y},其中 ab 是實數,\mathbf{x}\mathbf{y} 是實向量。因為 A 是實正交矩陣,即 A^\ast=A^TA^TA=I,推得

\displaystyle  \Vert A\mathbf{z}\Vert^2=\mathbf{z}^\ast A^\ast A\mathbf{z}=\mathbf{z}^\ast A^TA\mathbf{z}=\mathbf{z}^\ast\mathbf{z}=\Vert\mathbf{z}\Vert^2

再者,\Vert A\mathbf{z}\Vert=\vert\lambda\vert\Vert\mathbf{z}\Vert,故 \vert\lambda\vert=1,即 a^2+b^2=1。考慮 A(\mathbf{x}+i\mathbf{y})=(a+ib)(\mathbf{x}+i\mathbf{y}),乘開比較等號兩邊的實部和虛部,可得 A\mathbf{x}=a\mathbf{x}-b\mathbf{y}A\mathbf{y}=a\mathbf{y}+b\mathbf{x}。寫出

\displaystyle\begin{aligned}  \mathbf{x}^T\mathbf{x}&=\mathbf{x}^TA^TA\mathbf{x}\\  &=(a\mathbf{x}^T-b\mathbf{y}^T)(a\mathbf{x}-b\mathbf{y})\\  &=a^2\mathbf{x}^T\mathbf{x}-ab\mathbf{x}^T\mathbf{y}-ab\mathbf{y}^T\mathbf{x}+b^2\mathbf{y}^T\mathbf{y}\\  &=a^2\mathbf{x}^T\mathbf{x}+b^2\mathbf{y}^T\mathbf{y}-2ab\mathbf{x}^T\mathbf{y}\\  &=(1-b^2)\mathbf{x}^T\mathbf{x}+b^2\mathbf{y}^T\mathbf{y}-2ab\mathbf{x}^T\mathbf{y},  \end{aligned}

或簡化為 b^2\mathbf{x}^T\mathbf{x}-b^2\mathbf{y}^T\mathbf{y}+2ab\mathbf{x}^T\mathbf{y}=0。因為 \lambda 不為實數,即 b\neq 0,前式通除 b^2 得到 \mathbf{x}^T\mathbf{x}-\mathbf{y}^T\mathbf{y}=-2(a/b)\mathbf{x}^T\mathbf{y}。使用以上結果,

\displaystyle\begin{aligned}  \mathbf{x}^T\mathbf{y}&=\mathbf{x}^TA^TA\mathbf{y}\\  &=(a\mathbf{x}^T-b\mathbf{y}^T)(a\mathbf{y}+b\mathbf{x})\\  &=a^2\mathbf{x}^T\mathbf{y}+ab\mathbf{x}^T\mathbf{x}-ab\mathbf{y}^T\mathbf{y}-b^2\mathbf{y}^T\mathbf{x}\\  &=a^2\mathbf{x}^T\mathbf{y}+ab\mathbf{x}^T\mathbf{x}-ab\mathbf{y}^T\mathbf{y}-b^2\mathbf{x}^T\mathbf{y}\\  &=(a^2-b^2)\mathbf{x}^T\mathbf{y}+ab(\mathbf{x}^T\mathbf{x}-\mathbf{y}^T\mathbf{y})\\  &=(a^2-b^2)\mathbf{x}^T\mathbf{y}-2a^2\mathbf{x}^T\mathbf{y}\\  &=-\mathbf{x}^T\mathbf{y}.  \end{aligned}

所以,\mathbf{x}^T\mathbf{y}=0\mathbf{x}^T\mathbf{x}=\mathbf{y}^T\mathbf{y}

證明2:因為實矩陣的非實特徵值與對應的特徵向量必有共軛關係,設特徵值 \lambda\overline{\lambda} 分別對應特徵向量 \mathbf{x}+i\mathbf{y}\mathbf{x}-i\mathbf{y}。實矩陣 A 滿足AA^\ast=A^\ast A=I,說明 A 是正規矩陣 (normal vector)。使用正規矩陣的代表性質:可么正對角化 (unitarily diagonalizable),意思是所有的特徵向量構成一獨立且正交集。因為 \mathbf{x}\mathbf{y} 是實向量,可得

\displaystyle\begin{aligned}  \mathbf{0}&=(\mathbf{x}+i\mathbf{y})^\ast(\mathbf{x}-i\mathbf{y})\\  &=(\overline{\mathbf{x}+i\mathbf{y}})^T(\mathbf{x}-i\mathbf{y})\\  &=(\mathbf{x}-i\mathbf{y})^T(\mathbf{x}-i\mathbf{y})\\  &=\mathbf{x}^T\mathbf{x}-i\mathbf{x}^T\mathbf{y}-i\mathbf{y}^T\mathbf{x}-\mathbf{y}^T\mathbf{y}\\  &=(\mathbf{x}^T\mathbf{x}-\mathbf{y}^T\mathbf{y})-2i(\mathbf{x}^T\mathbf{y}),\end{aligned}

\mathbf{x}^T\mathbf{x}-\mathbf{y}^T\mathbf{y}=0\mathbf{x}^T\mathbf{y}

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1 則回應給 每週問題 March 2, 2015

  1. Meiyue Shao 說:

    我认为比较快捷且本质的方法是利用正规矩阵不同特征值对应的特征向量之间的正交性:x\pm iy 对应于两个不同的特征值 \lambda\bar\lambda,所以 (x+iy)^*(x-iy)=(x^Tx-y^Ty)+2ix^Ty=0。结论对实正规阵都成立。

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