每週問題 March 9, 2015

Posted on 03/09/2015 by ccjou

試寫出所有可能的四階冪零矩陣 (nilpotent) 的 Jordan 形式。

Determine all possible Jordan forms for a 4 \times 4 nilpotent matrix.

 
參考解答：

若存在一正整數 m 使得 A^m=0，則 A 稱為冪零矩陣。明顯地，冪零矩陣的特徵值為零，也就是說，Jordan 典型形式 J 的主對角元皆為零。令 k 表示冪零矩陣的指標 (index)，即最大 Joran 分塊階數。若 k=1，則 J=0。若 k=2，有兩種可能：

\displaystyle J=\begin{bmatrix} 0&1&\vline&0&0\\ 0&0&\vline&0&0\\\hline 0&0&\vline&0&1\\ 0&0&\vline&0&0 \end{bmatrix},~~J=\begin{bmatrix} 0&1&\vline&0&0\\ 0&0&\vline&0&0\\\hline 0&0&\vline&0&0\\ 0&0&\vline&0&0 \end{bmatrix} 。

若 k=3，

\displaystyle J=\begin{bmatrix} 0&1&0&\vline&0\\ 0&0&1&\vline&0\\ 0&0&0&\vline&0\\\hline 0&0&0&\vline&0 \end{bmatrix}。

若 k=4，

\displaystyle J=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}。

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