每週問題 March 9, 2015

試寫出所有可能的四階冪零矩陣 (nilpotent) 的 Jordan 形式。

Determine all possible Jordan forms for a 4 \times 4 nilpotent matrix.

 
參考解答:

若存在一正整數 m 使得 A^m=0,則 A 稱為冪零矩陣。明顯地,冪零矩陣的特徵值為零,也就是說,Jordan 典型形式 J 的主對角元皆為零。令 k 表示冪零矩陣的指標 (index),即最大 Joran 分塊階數。若 k=1,則 J=0。若 k=2,有兩種可能:

\displaystyle  J=\begin{bmatrix}  0&1&\vline&0&0\\  0&0&\vline&0&0\\\hline  0&0&\vline&0&1\\  0&0&\vline&0&0  \end{bmatrix},~~J=\begin{bmatrix}  0&1&\vline&0&0\\  0&0&\vline&0&0\\\hline  0&0&\vline&0&0\\  0&0&\vline&0&0  \end{bmatrix}

k=3

\displaystyle  J=\begin{bmatrix}  0&1&0&\vline&0\\  0&0&1&\vline&0\\  0&0&0&\vline&0\\\hline  0&0&0&\vline&0  \end{bmatrix}

k=4

\displaystyle  J=\begin{bmatrix}  0&1&0&0\\  0&0&1&0\\  0&0&0&1\\  0&0&0&0  \end{bmatrix}

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