每週問題 March 16, 2015

這是應用 Jordan 形式的證明問題，當然也有其他證法。

Prove that that is no $2\times 2$ matrix $A$ such that $A^2=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}$ .

參考解答：

證明1：二階矩陣 $A^2$ 有相重特徵值 $0$ ，代數重數為 $2$ ，可知 $A$ 也有相重特徵值 $0$ 。因此， $A$ 的 Jordan 典型形式 $J=M^{-1}AM$ 只有兩種可能： $\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}$ 或 $\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$ ，寫出 $A^2=MJ^2M^{-1}$ ，但兩種 Jordan 矩陣皆使 $J^2=0$ ，推得 $A^2=0$ ，這與命題的假設相矛盾，故證明所求。

證明2：二階矩陣 $A$ 有相重特徵值 $0$ ，即知 $A$ 的特徵多項式為 $p(t)=t^2$ 。Cayley-Hamilton 定理表明 $A^2=0$ ，與命題假設矛盾，故得證。

證明3：因為 $A$ 的特徵值皆為 $0$ ，說明 $A$ 是冪零矩陣 (nilpotent matrix)。任一 $n\times n$ 階冪零矩陣 $A$ 滿足 $A^n=0$ ，與命題假設矛盾，即得證。

證明4： $A^2$ 和 $A$ 的特徵值皆為 $0$ 。因為 $N(A^2)\supseteq N(A)\neq\{\mathbf{0}\}$ ， $A^2$ 的唯一特徵向量 $\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$ 必為 $A$ 的特徵向量，可知 $A$ 的形式為 $A=\begin{bmatrix} 0&a\\ 0&b \end{bmatrix}$ ，故 $A^2=\begin{bmatrix} 0&ab\\ 0&b^2 \end{bmatrix}$ 。但 $ab=1$ 和 $b^2=0$ 不存在解，與假設矛盾，證畢。

4 Responses to 每週問題 March 16, 2015

Meiyue Shao says:

06/05/2015 at 9:14 am

Jordan 型体现了该问题的本质。如果仅仅为了证明，可以直接用 Cayley-Hamilton 定理书写，比较快捷。

- ccjou says:
  
  06/08/2015 at 11:22 am
  
  已補充 Cayley-Hamilton 定理證明，順便又加了二個，供讀者參照。
  
  - Meiyue Shao says:
    
    06/09/2015 at 1:36 am
    
    我觉得证明 4 第一步最好加一些说明，不然初级读者容易误以为一般情况下 $A^2$ 的特征向量一定是 $A$ 的特征向量。
    
    - ccjou says:
      
      06/09/2015 at 7:22 am
      
      你真是細心，已修增說明。這讓我想起至今尚未寫過關於冪矩陣特徵值的代數與幾何重數的詳細討論。

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