每週問題 March 30, 2015

這是證明兩分塊矩陣相似。

Let A and B be n\times n matrices. Show that matrix P is similar to matrix Q, where

\displaystyle  P=\begin{bmatrix}  A&B\\  B&A  \end{bmatrix},~Q=\begin{bmatrix}  A+B&0\\  0&A-B  \end{bmatrix}.

 
參考解答:

考慮分塊矩陣乘法

\displaystyle  \begin{aligned}  \begin{bmatrix}  I&0\\  I&I  \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}  A&B\\  B&A  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&0\\  I&I  \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}  I&0\\  -I&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  A+B&B\\  B+A&A  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  A+B&B\\  0&A-B  \end{bmatrix},\end{aligned}

可知 \begin{bmatrix}  A&B\\  B&A  \end{bmatrix} 相似於 \begin{bmatrix}  A+B&B\\  0&A-B  \end{bmatrix}。再者,

\displaystyle\begin{aligned}    \begin{bmatrix}  I&I\\  0&-2I  \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}  A+B&B\\  0&A-B  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}  I&I\\  0&-2I  \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}  I&\frac{1}{2}I\\  0&-\frac{1}{2}I  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}  A+B&A-B\\  0&2B-2A  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  A+B&0\\  0&A-B  \end{bmatrix},\end{aligned}

可知 \begin{bmatrix}  A+B&B\\  0&A-B  \end{bmatrix} 相似於 \begin{bmatrix}  A+B&0\\  0&A-B  \end{bmatrix}。相似關係具備傳遞性,故證明所求。

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6 則回應給 每週問題 March 30, 2015

  1. edge 說:

    請問如何知道一開始要乘以下三角單位矩陣??

    • ccjou 說:

      我是「看」出來的,然後再計算確認。不然這樣,暫時考慮二階對稱矩陣 P=\begin{bmatrix} a&b\\ b&a \end{bmatrix} 相似於主對角矩陣 Q=\begin{bmatrix} a+b&0\\ 0&a-b \end{bmatrix},其中 a+ba-b 就是 PQ 的特徵值,很容易找到由 P 的特徵向量構成的可逆矩陣 S=\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix} 使得 S^{-1}PS=Q。最後將二階矩陣改成二階分塊矩陣即可。

  2. Meiyue Shao 說:

    这里的相似关系在近年热门的线性相应特征值问题里非常重要。对于变换矩阵的选取,我建议选用 S=\begin{bmatrix} I & I \\ -I & I \end{bmatrix} /\sqrt{2},因为这个问题常与 Hamilton 特征值问题相联系,采用辛酉变换最有利于研究。

    • Meiyue Shao 說:

      笔误:线性响应 (linear response)

    • ccjou 說:

      說的對,我們當儘可能採用unitary變換矩陣,本題的變換矩陣應該是 S=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} I&I\\ I&-I \end{bmatrix}

      • Meiyue Shao 說:

        之前的次序搞反了,我想说的是选 S=\begin{bmatrix} I & -I \\ I & I\end{bmatrix}/sqrt{2} 比较好。如果把 -I 放在右下角得到是对称的正交阵,但毕竟不是辛矩阵,在某些和 Hamilton 性质比较相关的问题里要亏一点。

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