每週問題 April 6, 2015

證明正交變換是一個線性變換。

If T is a mapping on an inner product \mathcal{V} satisfying

\displaystyle  \left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{y})\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle,

for all \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V}, show that T is a linear transformation. Such a T is called an orthogonal transformation.

 
參考解答:

對於所有 \mathbf{x},\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathcal{V},使用內積性質,可得

\displaystyle\begin{aligned}  \left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{u}+\mathbf{v})\right\rangle&=\left\langle \mathbf{x},\mathbf{u}+\mathbf{v}\right\rangle\\  &=\left\langle \mathbf{x},\mathbf{u}\right\rangle+\left\langle \mathbf{x},\mathbf{v}\right\rangle\\  &=\left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{u})\right\rangle+\left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{v})\right\rangle\\  &=\left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})\right\rangle,  \end{aligned}

\left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v})\right\rangle=0,說明 T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}) 正交於 T 的值域。因此,T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}) 正交於 T(\mathbf{u}+\mathbf{v})T(\mathbf{u})T(\mathbf{v})。套用內積性質,

\displaystyle\begin{aligned}  &\left\langle T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}),T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v})\right\rangle\\  &=\left\langle T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}),T(\mathbf{u}+\mathbf{v})\right\rangle-\left\langle T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}),T(\mathbf{u})\right\rangle\\  &~~~~-\left\langle T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}),T(\mathbf{v})\right\rangle\\  &=0,  \end{aligned}

T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})。類似地,對於所有 \mathbf{x},\mathbf{u}\in\mathcal{V},以及 c\in\mathbb{C}

\displaystyle\begin{aligned}  \left\langle T(\mathbf{x}),T(c\mathbf{u})\right\rangle&=\left\langle \mathbf{x},c\mathbf{u}\right\rangle\\  &=c\left\langle \mathbf{x},\mathbf{u}\right\rangle\\  &=c\left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{u})\right\rangle\\  &=\left\langle T(\mathbf{x}),cT(\mathbf{u})\right\rangle,  \end{aligned}

\left\langle T(\mathbf{x}),T(c\mathbf{u})-cT(\mathbf{u})\right\rangle=0,說明 T(c\mathbf{u})-cT(\mathbf{u}) 正交於 T 的值域,可知 T(c\mathbf{u})-cT(\mathbf{u}) 正交於 T(c\mathbf{u})T(\mathbf{u})。同樣方式可推得 \left\langle T(c\mathbf{u})-cT(\mathbf{u}),T(c\mathbf{u})-cT(\mathbf{u})\right\rangle=0,即 T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u}),因此證明 T 是一線性變換。

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4 則回應給 每週問題 April 6, 2015

  1. Meiyue Shao 說:

    我觉得这个证明还不够完整,最后一步需要验证一下 T 是满射才能得到结论,仅有 T(x)\neq 0 还不太够。
    我建议的做法是:1. T(x)=0 等价于 \langle T(x),T(x) \rangle=\langle x,x \rangle=0 等价于 x=0(可以看出 T 非异的条件是多余的)。 2. 利用内积的线性性质展开验证 \langle T(ax+by)-aT(x)-bT(y),T(ax+by)-aT(x)-bT(y) \rangle=0

    • ccjou 說:

      謝謝。確實 T 是非特異的條件是多餘的,不過 T(x)=0 等價於 x=0 即表示 T:V\to V 是one-to-one,不需要再驗證onto。

      晚點我再將你說的做法2貼上來。

      • Meiyue Shao 說:

        我觉得问题在于对于一个性质尚不明朗的映射而言 T(x)=0 \Leftrightarrow x=0 不足以直接得到 T(x)=T(y) \Leftrightarrow x=y,即使得到了后者(即 T 是单射),也不能立即得到满射(比如 T 可能是 \mathcal{V} 到它的某个真子空间的双射),这些特殊等价性都需要 T 的线性性质作为基础才能得到,这样一来问题的难度并没有降低,或者说最后一步有明显的逻辑跳跃。

    • ccjou 說:

      我將解答改寫了,推論過程差不多就是你建議的方法。移除 T 是非奇異的條件,回到問題本身,不必證明 T 是單射和滿射。

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