## 每週問題 April 6, 2015

If $T$ is a mapping on an inner product $\mathcal{V}$ satisfying

$\displaystyle \left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{y})\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle,$

for all $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V}$, show that $T$ is a linear transformation. Such a $T$ is called an orthogonal transformation.

\displaystyle\begin{aligned} \left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{u}+\mathbf{v})\right\rangle&=\left\langle \mathbf{x},\mathbf{u}+\mathbf{v}\right\rangle\\ &=\left\langle \mathbf{x},\mathbf{u}\right\rangle+\left\langle \mathbf{x},\mathbf{v}\right\rangle\\ &=\left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{u})\right\rangle+\left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{v})\right\rangle\\ &=\left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})\right\rangle, \end{aligned}

$\left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v})\right\rangle=0$，說明 $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v})$ 正交於 $T$ 的值域。因此，$T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v})$ 正交於 $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})$$T(\mathbf{u})$$T(\mathbf{v})$。套用內積性質，

\displaystyle\begin{aligned} &\left\langle T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}),T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v})\right\rangle\\ &=\left\langle T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}),T(\mathbf{u}+\mathbf{v})\right\rangle-\left\langle T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}),T(\mathbf{u})\right\rangle\\ &~~~~-\left\langle T(\mathbf{u}+\mathbf{v})-T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}),T(\mathbf{v})\right\rangle\\ &=0, \end{aligned}

$T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$。類似地，對於所有 $\mathbf{x},\mathbf{u}\in\mathcal{V}$，以及 $c\in\mathbb{C}$

\displaystyle\begin{aligned} \left\langle T(\mathbf{x}),T(c\mathbf{u})\right\rangle&=\left\langle \mathbf{x},c\mathbf{u}\right\rangle\\ &=c\left\langle \mathbf{x},\mathbf{u}\right\rangle\\ &=c\left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{u})\right\rangle\\ &=\left\langle T(\mathbf{x}),cT(\mathbf{u})\right\rangle, \end{aligned}

$\left\langle T(\mathbf{x}),T(c\mathbf{u})-cT(\mathbf{u})\right\rangle=0$，說明 $T(c\mathbf{u})-cT(\mathbf{u})$ 正交於 $T$ 的值域，可知 $T(c\mathbf{u})-cT(\mathbf{u})$ 正交於 $T(c\mathbf{u})$$T(\mathbf{u})$。同樣方式可推得 $\left\langle T(c\mathbf{u})-cT(\mathbf{u}),T(c\mathbf{u})-cT(\mathbf{u})\right\rangle=0$，即 $T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$，因此證明 $T$ 是一線性變換。

### 4 Responses to 每週問題 April 6, 2015

1. Meiyue Shao 說道：

我觉得这个证明还不够完整，最后一步需要验证一下 $T$ 是满射才能得到结论，仅有 $T(x)\neq 0$ 还不太够。
我建议的做法是：1. $T(x)=0$ 等价于 $\langle T(x),T(x) \rangle=\langle x,x \rangle=0$ 等价于 $x=0$（可以看出 $T$ 非异的条件是多余的）。 2. 利用内积的线性性质展开验证 $\langle T(ax+by)-aT(x)-bT(y),T(ax+by)-aT(x)-bT(y) \rangle=0$

• ccjou 說道：

謝謝。確實 $T$ 是非特異的條件是多餘的，不過 $T(x)=0$ 等價於 $x=0$ 即表示 $T:V\to V$ 是one-to-one，不需要再驗證onto。

晚點我再將你說的做法2貼上來。

• Meiyue Shao 說道：

我觉得问题在于对于一个性质尚不明朗的映射而言 $T(x)=0 \Leftrightarrow x=0$ 不足以直接得到 $T(x)=T(y) \Leftrightarrow x=y$，即使得到了后者（即 $T$ 是单射），也不能立即得到满射（比如 $T$ 可能是 $\mathcal{V}$ 到它的某个真子空间的双射），这些特殊等价性都需要 $T$ 的线性性质作为基础才能得到，这样一来问题的难度并没有降低，或者说最后一步有明显的逻辑跳跃。

• ccjou 說道：

我將解答改寫了，推論過程差不多就是你建議的方法。移除 $T$ 是非奇異的條件，回到問題本身，不必證明 $T$ 是單射和滿射。