每週問題 April 20, 2015

證明 Cayley 變換將正交矩陣映至反對稱矩陣。

Let A be a real orthogonal matrix and \det(I+A)\neq 0. Show that Cayley transformation

\displaystyle  B=(I-A)(I+A)^{-1}

is skew-symmetric.

 
參考解答:

寫出恆等式 (I+A)(I-A)=(I-A)(I+A),等號兩邊左右同乘 (I+A)^{-1},可得 (I-A)(I+A)^{-1}=(I+A)^{-1}(I-A)。使用 A^T=A^{-1},推導如下:

\displaystyle\begin{aligned}  B^T&=(I+A^T)^{-1}(I-A^T)\\  &=(I+A^{-1})^{-1}(I-A^{-1})\\  &=(I+A^{-1})^{-1}A^{-1}(A-I)\\  &=(A(I+A^{-1}))^{-1}(A-I)\\  &=-(A+I)^{-1}(I-A)\\  &=-B.  \end{aligned}

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