答林聖興──關於方程式的重根表達問題

網友林聖興留言:

周教授您好,在國中時期,解一元二次方程式例如 x^2 - 2x +1 = 0 化簡為 (x-1)^2=0。方程式有重根 11,如果僅寫一個 1,沒寫兩個 1,會被老師說答錯。在高中時期,遇到三次方程 x^3-3x^2+3x-1=0 化簡可得 (x-1)^3=0,知方程式有三重根 111。高中生大概也會感覺無聊,可能心中有個疑惑,僅寫一個 1,難道不行嗎?遇到這種看似「哲學」的疑問,也不敢向老師問為什麼,想要拿分數,只好照規定作答,有能力答對,似乎沒有圓滿的解釋。

 
我高中畢業到現在將近三十年,這五年陸續看了一些周教授您的線代啟示錄,偶爾也回憶高中時期的想法,有一天,像是頓悟了!三階方陣的 eigenvalue,在解 eigen equation 的過程,若有重根,三個數字皆相同,不可僅寫一個,必需要有三個數字,而那三個數字是恰好相同的。這好像可以作為我們需要「重根」的理由,而高中國中學生還沒到開悟的年紀。進入大學有能力開悟,也未必有人點醒。不知有多少人,能夠回顧自身學習歷程,把曾經在心中的疑惑,好好解答。

 
台灣現在的教育環境,似乎考試拿分數最重要,很少人思考這些細微枝節。以上個人想法,老師您有沒有興趣寫一篇文章?(我好像還沒看到您部落格有這樣的文章探討) 我的文字僅供參考,可以自由刪減、變化,如果對大家有益,應該值得寫,不必列出我的姓名,只要稱呼我「網友」即可。

 
答曰:

代數基本定理 (fundamental theorem of algebra) 說:任何一個領先係數非零的一元 n 次複係數多項式,恰有 n 個複數根。求一元二次方程 ax^2+bx+c=0 的解也就是求對應的二次多項式 ax^2+bx+c 的兩個根。問題的陳述方式往往引領我們的思路。考慮下面兩種問法:(1)「求 x^2-2x+1=0 的解」;(2)「求 x^2-2x+1=0 的解集合」。絕大多數的中學數學教材採用第一種問法,第二種問法清楚講明要找出解所組成的集合,但為甚麼課本都不這麼寫呢?

 
在一個集合中,相同的元素只能出現一次,原因是集合的作用僅在表達有或無的屬性。多重集 (multiset) 是集合的一種推廣。在多重集中,同一個元素可以出現多次。譬如,\{2,3,5\} 是一個集合,但 \{2,2,2,3,3,5\} 不是一個集合,而是多重集。一個元素在多重集裡出現的次數稱為該元素的重數 (或相重數,multiplicity)。在多重集 \{2,2,2,3,3,5\},元素 2 的重數是 3,元素 3 的重數是 2,元素 5 的重數是 1。舉例來說,考慮質因數分解 360=2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5。我們知道 360 有六個質因數 (多重集),其中僅有三個相異的質因數 (集合),質因數 2 的重數為 3,質因數 3 的重數為 2,質因數 5 的重數為 1

 
許多中學生可能將「求 x^2-2x+1=0 的解」解讀成「求 x^2-2x+1=0 的解集合」,自然也就認為答案是 \{1\}。雖然數學課本未必明說,但老師──在經過他們的老師多年教化後──早已默認「求 x^2-2x+1=0 的解」其實是「求 x^2-2x+1=0 的多重解集」的簡述,故而要求正確的答案應為 \{1,1\}。當年如果你鼓足勇氣向老師提出這個看似「哲學」的疑問,說不定立即便可獲得圓滿的解釋,誰知道呢?

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4 則回應給 答林聖興──關於方程式的重根表達問題

  1. Watt Lin 說:

    感謝老師答覆!
    —————–
    如果有人講:「請問您父母親幾歲?」
    一般人可能雙親歲數不同。
    若是剛好相同,可以一同回答:父母都是n歲。
    或者講「爸爸n歲,媽媽也是n歲」。
    如果沒仔細講,問的人會認為只聽到一個答案,想繼續追問另一個答案。
    —————–
    上面是一種簡單比喻法,沒什麼高深理論,或許能夠讓國中生欣然接受「重根」吧!
    假設國中生問為何要寫「重根」,把「多重集」(multiset) 搬出來解釋,不知幾%學生能聽懂?
    能聽懂,當然很好,而國中老師會認為需要如此作說明嗎?我不知道。

    • ccjou 說:

      剛才我問老婆:家裡有什麼水果?
      她說:木瓜、香蕉、小番茄和蓮霧。
      我問:有多少?說清楚。 (沒聽過多重集嗎?)
      她不耐煩地回:一個木瓜,一串香蕉,一盒小番茄,蓮霧……你自己不會去算哪。

      老婆看電視影集Ray Donovan時,最好別惹她。

  2. Watt Lin 說:

    https://ccjou.wordpress.com/2009/11/18/%E5%BE%9E%E7%B7%9A%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B8%E7%9C%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B/
    就特徵方程式而言,微分方程與線性代數確實有著密切的關係。
    ——————
    解微分方程的時候,如果特徵方程式有重根,在運算最後結果的過程,重根好像僅有一個被拿來使用。
    在矩陣的特徵方程式,重根的每一個數字,都必須拿來用,缺一個就不行。
    同樣叫做「特徵方程式」,在線性代數的領域,似乎比較能夠「直覺」感受到重根的意義。

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