每週問題 May 11, 2015

證明反 Hermitian 矩陣的特徵值為純虛數。

Show that the eigenvalues of any skew-Hermitian matrix are pure imaginary number.

 
參考解答:

A 為一反 Hermitian 矩陣滿足 A^\ast=-A。考慮特徵方程 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\mathbf{x}\neq\mathbf{0}。等號兩邊左乘 \mathbf{x}^\ast,可得 \mathbf{x}^\ast A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}^\ast\mathbf{x}=\lambda\Vert\mathbf{x}\Vert^2。上式取共軛,\overline{\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x}}=\overline{\lambda}\Vert\mathbf{x}\Vert^2,等號左邊化簡如下:

\displaystyle  \overline{\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x}}=(\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x})^\ast=\mathbf{x}^\ast A^\ast\mathbf{x}=-\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x}=-\lambda\Vert\mathbf{x}\Vert^2

因此,\overline{\lambda}\Vert\mathbf{x}\Vert^2=-\lambda\Vert\mathbf{x}\Vert^2。但 \Vert\mathbf{x}\Vert^2\neq 0,推得 \overline{\lambda}=-\lambda,證明 \lambda 是純虛數 (包含零)。

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