每週問題 May 18, 2015

證明冪等 (idempotent) 矩陣的一些性質。

Let P be an n\times n idempotent matrix, i.e., P^2=P. Let C(P) and N(P) denote the column space and nullspace of P, respectively. Prove the following statements.

(a) I-P is an idempotent matrix.
(b) N(P)=C(I-P).
(c) C(P)\cap N(P)=\{\mathbf{0}\}.
(d) \text{rank}P=\dim N(I-P).
(e) \text{rank}P+\text{rank}(I-P)=n.

 
參考解答:

(a) (I-P)^2=I-2P+P^2=I-2P+P=I-P

(b) 若 \mathbf{x}\in N(P),即 P\mathbf{x}=\mathbf{0},則 \mathbf{x}=\mathbf{x}-P\mathbf{x}=(I-P)\mathbf{x},也就是說 \mathbf{x}\in C(I-P),證明 N(P)\subseteq C(I-P)。若 \mathbf{x}\in C(I-P),則存在向量 \mathbf{y} 使得 \mathbf{x}=(I-P)\mathbf{y}。因此 P\mathbf{x}=P(I-P)\mathbf{y}=0\mathbf{y}=\mathbf{0},即知 \mathbf{x}\in N(P),證明 C(I-P)\subseteq N(P)。合併以上結果,推得 N(P)=C(I-P)

(c) 假設 \mathbf{x}\in C(P)\cap N(P)。因為 \mathbf{x}\in C(P),存在 \mathbf{y} 使得 \mathbf{x}=P\mathbf{y}。由 (b),因為 \mathbf{x}\in N(P)=C(I-P),存在 \mathbf{z} 使得 \mathbf{x}=(I-P)\mathbf{z}。所以,\mathbf{z}=P\mathbf{y}+P\mathbf{z}。等號兩邊左乘 P,立得 P\mathbf{z}=P^2\mathbf{y}+P^2\mathbf{z}=P\mathbf{y}+P\mathbf{z},故 \mathbf{x}=P\mathbf{y}=\mathbf{0}

(d) 由 (b),立得 \mathrm{rank}(I-P)=\dim C(I-P)=\dim N(P),以冪等矩陣 I-P 取代 P,可得 \mathrm{rank}P=\dim C(P)=\dim N(I-P)

(e) 根據秩—零度定理 \dim C(P)+\dim N(P)=n 與 (b) N(P)=C(I-P),就有 \dim C(P)+\dim C(I-P)=n,此即 \text{rank}P+\text{rank}(I-P)=n

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