每週問題 June 1, 2015

利用矩陣範數證明可逆矩陣。原先公布的問題與“每週問題 May 31, 2010”重複,故更改為下列問題。

Let A be an n\times n matrix. If \Vert I-A\Vert<1, show that A is invertible.

 
參考解答:

\lambdaA 的特徵值。我們需要這個性質:\Vert A\Vert\ge \vert\lambda\vert,證明於下:設 \mathbf{x}\neq\mathbf{0} 為對應 \lambda 的特徵向量,並設 n\times n 階矩陣 X=\begin{bmatrix} \mathbf{x}&\mathbf{0}&\cdots&\mathbf{0} \end{bmatrix},就有 AX=\lambda X。利用矩陣範數的不等性質,可得

\displaystyle  \vert\lambda\vert\cdot\Vert X\Vert=\Vert\lambda X\Vert=\Vert AX\Vert\le\Vert A\Vert\cdot\Vert X\Vert

因為 \Vert X\Vert\neq 0,故得 \vert\lambda\vert\le\Vert A\Vert。假設 A 不可逆,即有特徵值 0,因此 I-A 有特徵值 1。上述性質申明 \Vert I-A\Vert\ge 1,這與原命題矛盾,證畢。

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