利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量

本文的閱讀等級:初級

A 為一 n\times n 階矩陣,\lambda_1,\ldots,\lambda_n 為特徵值 (包含相重特徵值),\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 為對應的特徵向量,即有 A\mathbf{x}_i=\lambda_i\mathbf{x}_ii=1,\ldots,n。本文介紹如何利用 Vandermonde 矩陣證明對應相異特徵值的特徵向量組成一線性獨立集。(此證法源於網友 Meiyue Shao 對“相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明”的回應。)

 
在不失一般性的情況下,假設 \lambda_1,\ldots,\lambda_k 為相異特徵值,2\le k\le n。考慮

\displaystyle    c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2+\cdots+c_k\mathbf{x}_k=\mathbf{0}

我們若能推得 c_1=\cdots=c_k=0,則 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k\} 是一個線性獨立的特徵向量集。上式左乘 A^pp=1,\ldots,k-1,可得

\displaystyle\begin{aligned}  A^p(c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2+\cdots+c_k\mathbf{x}_k)&=c_1A^p\mathbf{x}_1+c_2A^p\mathbf{x}_2+\cdots+c_kA^p\mathbf{x}_k\\  &=c_1\lambda_1^p\mathbf{x}_1+c_2\lambda_2^p\mathbf{x}_2+\cdots+c_k\lambda_k^p\mathbf{x}_k=\mathbf{0}.  \end{aligned}

將上面 k 個線性方程合併為矩陣表達式:

\begin{bmatrix}  c_1\mathbf{x}_1&c_2\mathbf{x}_2&\cdots&c_k\mathbf{x}_k  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1&\lambda_1&\cdots&\lambda_1^{k-1}\\  1&\lambda_2&\cdots&\lambda_2^{k-1}\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  1&\lambda_k&\cdots&\lambda_k^{k-1}\end{bmatrix}=SV=0

其中 S 是特徵向量形成的 n\times k 階矩陣,V 是特徵值構造的 k\times k 階 Vandermonde 矩陣。套用 Vandermonde 矩陣的行列式公式 (見“特殊矩陣 (8):Vandermonde 矩陣”):

\displaystyle    \det V=\prod_{1\le j<i\le k}(\lambda_i-\lambda_j)

因為 \lambda_1,\ldots,\lambda_k 彼此互異,即知 \det V\neq 0V 是一可逆矩陣。所以,S=0,也就是說 c_i\mathbf{x}_i=\mathbf{0}i=1,\ldots,k。但特徵向量 \mathbf{x}_i 不得為零向量,證得 c_1=\cdots=c_k=0

 
Vandermone 矩陣還可以用來證明此性質:若 n\times n 階矩陣 An 個互異的特徵值,則存在一「種子」(非零向量) \mathbf{x} 使得 \{\mathbf{x},A\mathbf{x},\ldots,A^{n-1}\mathbf{x}\} 為線性獨立集 (見“每週問題 June 18, 2012”),其中 \mathbf{x} 稱為循環向量 (cyclic vector,見“循環向量定理”)。

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