每週問題 June 8, 2015

矩陣 A 相似於 A^\ast 等價於 A 相似於一實矩陣。

Let A be an n\times n complex matrix. Show that A is similar to a real matrix B if and only if A is similar to A^\ast.

 
參考解答:

(\Rightarrow):若 B=S^{-1}AS,則 B^\ast=S^\ast A^\ast (S^{-1})^\ast。因為任一矩陣相似於其轉置,且 B^T=B^\ast,可得

\displaystyle  B=T^{-1}B^TT=T^{-1}B^\ast T=T^{-1}S^\ast A^\ast (S^{-1})^\ast T

所以,A^\ast=(ST^{-1}S^\ast)^{-1}A(ST^{-1}S^\ast)

(\Leftarrow):令 A 的 Jordan 矩陣為 J。若 A 相似於 A^\ast,則 A\overline{A}^T 有相同的 Jordan 矩陣 J。因為 \overline{A}^T 相似於 \overline{A},可知 J 相似於 \overline{A} 的 Jordan 矩陣 \overline{J}。設 A 有相異特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_m,Jordan 矩陣 J 由所有的 k\times k 階 Jordan 分塊 J_k(\lambda_i) 的直和組成。如果不考慮 Jordan 分塊的排序,任一方陣有唯一的 Jordan 矩陣。因為 \overline{J_k(\lambda_i)}=J_k(\overline{\lambda_i}),說明 \overline{J} (同樣也是 A^\ast) 的特徵值為 \overline{\lambda_1},\ldots,\overline{\lambda_m}。根據以上結果,J 相似於 \overline{J} 的充分與必要條件是 A 的非實特徵值必須為共軛對,即 \lambda_i=\overline{\lambda_j}i\neq j,而且對應的 Jordan 分塊也為共軛對,即 J_k(\lambda_i)=J_k(\overline{\lambda_j})i\neq j。以 2 階分塊為例,

\displaystyle  \begin{bmatrix}  J_2(\lambda)&0\\  0&J_2(\overline{\lambda})  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \lambda&1&\vline&0&0\\  0&\lambda&\vline&0&0\\\hline  0&0&\vline&\overline{\lambda}&1\\  0&0&\vline&0&\overline{\lambda}  \end{bmatrix}

如果我們能證明 J 相似於一實矩陣,則 A 也相似於一實矩陣。上式排列相似於 (置換第2,3行與列)

\displaystyle  \begin{bmatrix}  \lambda&0&\vline&1&0\\  0&\overline{\lambda}&\vline&0&1\\\hline  0&0&\vline&\lambda&0\\  0&0&\vline&0&\overline{\lambda}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  D(\lambda)&I_2\\  0&D({\lambda})  \end{bmatrix}

其中 D(\lambda)=\begin{bmatrix}  \lambda&0\\  0&\overline{\lambda}  \end{bmatrix}。若 \lambda=a+iba,b\in\mathbb{R}S=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&1\\  i&-i  \end{array}\!\!\right]i=\sqrt{-1},則

\displaystyle  SD(\lambda)S^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rc}  a&b\\  -b&a  \end{array}\!\!\right]=M(a,b)

再者,

\displaystyle  \begin{bmatrix}  S&0\\  0&S  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  D(\lambda)&I\\  0&D(\lambda)  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}  S^{-1}&0\\  0&S^{-1}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  M(a,b)&I\\  0&M(a,b)  \end{bmatrix}

以上結果說明 Jordan 分塊 \begin{bmatrix}  J_2(\lambda)&0\\  0&J_2(\overline{\lambda})  \end{bmatrix} 相似於實分塊 \begin{bmatrix}  M(a,b)&I\\  0&M(a,b)  \end{bmatrix},同樣地,Jordan 分塊的直和也相似於對應的實分塊的直和,證明 Jordan 矩陣 J 相似於一實矩陣。

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