冪矩陣的特徵值與特徵向量

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令 $A$ 為 $n\times n$ 階矩陣， $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 為特徵值 (包含相重特徵值)， $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$ 為對應的特徵向量。如果已知 $A$ 的所有特徵值和對應的特徵向量，我們能否找出冪矩陣 $A^k$ ， $k\ge 1$ ，的所有特徵值和對應的特徵向量？使用 $A\mathbf{x}_i=\lambda_i\mathbf{x}_i$ ，計算可得

$\displaystyle\begin{aligned} A^k\mathbf{x}_i&=A^{k-1}(A\mathbf{x}_i)=A^{k-1}(\lambda_i\mathbf{x}_i) =\lambda_iA^{k-2}(A\mathbf{x}_i)\\ &=\lambda_i^2A^{k-2}\mathbf{x}_i=\cdots=\lambda_i^k\mathbf{x}_i, \end{aligned}$

故知 $A^k$ 有特徵值 $\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k$ ，對應的特徵向量是 $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$ 。這個結果是否表示我們已經找齊了 $A^k$ 的特徵值與對應的特徵向量？看下面的例子：

$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 0&1&1\\ 0&0&2\\ 0&0&2 \end{bmatrix}$

的特徵值為 $\lambda_1=\lambda_2=0$ 和 $\lambda_3=2$ ，對應的特徵向量分別為 $\mathbf{x}_1=\mathbf{x}_2=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{x}_3=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 。然而，

$\displaystyle A^2=\begin{bmatrix} 0&0&4\\ 0&0&4\\ 0&0&4 \end{bmatrix}$

的特徵值為 $\lambda'_1=\lambda'_2=0$ 和 $\lambda'_3=4$ ，對應的特徵向量分別為 $\mathbf{x}'_1=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$ ， $\mathbf{x}'_2=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{x}'_3=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 。冪矩陣 $A^2$ 的特徵值確實是 $\lambda_1^2,\lambda_2^2,\lambda_3^2$ ，但對應的特徵向量除了包含 $A$ 的特徵向量外，還多一個線性獨立的特徵向量 $\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$ 。換一個說法， $A$ 不可對角化 (因為不存在 $3$ 個線性獨立的特徵向量)， $A^2$ 卻可對角化。為甚麼會有這樣奇怪的現象？下面我們就來探討冪矩陣的最大線性獨立的特徵向量數增多的原因。

我們先推導 $A^k$ 的特徵值。使用矩陣三角化的 Schur 定理 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”)：對於任一方陣 $A$ ，存在一個么正 (unitary) 矩陣 $U$ 滿足 $U^\ast=U^{-1}$ 使得 $A=UTU^{\ast}$ ，其中 $T=[t_{ij}]$ 是上三角矩陣。因為 $A$ 相似於 $T$ ，上三角矩陣 $T$ 的主對角元即為 $A$ 的特徵值。在不失一般性的原則下，設 $t_{ii}=\lambda_i$ ， $i=1,\ldots,n$ 。直接計算可得 $A^k=UT^kU^{\ast}$ ，其中 $T^k$ 是上三角矩陣，且 $(T^k)_{ii}=\lambda_i^k$ ， $i=1,\ldots,n$ 。根據相似關係， $A^k$ 的特徵值即為 $T^k$ 的主對角元 $\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k$ 。這是讀者所熟悉的冪矩陣的特徵值性質。

請注意下列情況： $f(x)=x^k$ 並非一對一 (或稱單射) 函數，也就是說 $\lambda_i\neq \lambda_j$ 可能產生 $\lambda_i^k=\lambda_j^k$ 。舉例來講，若 $A=\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\!\!\right]$ ，則 $A^{2k}=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$ 且 $A^{2k-1}=A$ ， $k\ge 1$ 。冪矩陣 $A^{2k}$ 對應相重特徵值 $1$ (代數重數為 $2$ ) 的特徵空間由 $A$ 對應特徵值 $1$ 和 $-1$ 的特徵空間合併而成 (直和，direct sum)，記為 $N(A^{2k}-I)=N(A-I)\oplus N(A+I)$ ，其中 $N(\cdot)$ 表示矩陣的零空間，即有 $\dim N(A^{2k}-I)=\dim N(A-I)+\dim N(A+I)$ (見“補子空間與直和”)，意思是 $A^{2k}$ 的特徵值 $1$ 的幾何重數 (特徵空間維數) 等於 $A$ 的特徵值 $1$ 的幾何重數與特徵值 $-1$ 的幾何重數之和。

接著討論 $A^k$ 對應特徵值 $\lambda^k$ 的特徵空間與幾何重數，分開兩種情況： $\lambda=0$ 或 $\lambda\neq 0$ 。若 $m\times m$ 階矩陣 $B$ 的所有特徵值為零，稱為冪零 (nilpotent) 矩陣，則存在一正數 $k\le m$ 使得 $B^k=0$ (見“特殊矩陣 (1)：冪零矩陣”)。冪零矩陣 $B$ 的零特徵值的代數重數為 $m$ ，根據秩─零度定理，幾何重數為 $\dim N(B)=m-\text{rank}B$ 。除非 $B=0$ ，否則 $\dim N(B)<m$ ，可知非零冪零矩陣 $B$ 不可對角化。對於 $k\ge 1$ ， $N(B^k)\subseteq N(B^{k+1})$ (見“矩陣與特徵值的指標”)，即有 $\dim N(B^k)\le\dim N(B^{k+1})$ 。隨著 $k$ 增大，最終將使 $B^k=0$ ，這時候 $N(B^k)=\mathbb{C}^m$ 。換句話說， $B^k$ 的唯一特徵值 $0$ 的幾何重數隨 $k$ 增大至代數重數 (即矩陣階數 $m$ )。推廣至一般情況，設 $A$ 的特徵值 $0$ 的代數重數為 $m$ 。考慮 $A$ 的 Jordan 形式

$\displaystyle A=M\begin{bmatrix} \ddots&&\\ &J(0)&\\ &&\ddots \end{bmatrix}M^{-1}$ ，

其中 $J(0)$ 是對應所有零特徵值的 Jordan 分塊直和，且 $J(0)$ 是 $m\times m$ 階冪零矩陣 (見“Jordan 形式大解讀(上)”)。例如， $5\times 5$ 階

$\displaystyle J(0)=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}\oplus \begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}\oplus \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&1&&&\\ 0&0&&&\\ &&0&1&\\ &&0&0&\\ &&&&0 \end{bmatrix}$

是 3 個 Jordan 分塊的直和，表示 $A$ 的特徵值 $0$ 的代數重數 ( $J(0)$ 的階數) 為 $5$ ，幾何重數 (Jordan 分塊數) 為 $3$ 。計算可得

$\displaystyle A^k=M\begin{bmatrix} \ddots&&\\ &J(0)^k&\\ &&\ddots \end{bmatrix}M^{-1}$ 。

因為 $N(A^k)\subseteq N(A^{k+1})$ ，隨著 $k$ 增大， $A^k$ 對應特徵值 $0$ 的幾何重數 $\dim N(A^k)$ 也跟著增大，最後產生 $J(0)^k=0$ ，此時 $A^k$ 對應特徵值 $0$ 的幾何重數等於代數重數 $m$ 。上例中， $A$ 和 $A^2$ 的 Jordan 矩陣分別為

$\displaystyle J_A=\begin{bmatrix} 0&1&\\ 0&0&\\ &&2 \end{bmatrix},~~J_{A^2}=\begin{bmatrix} 0&&\\ &0&\\ &&4 \end{bmatrix}$ ，

可知 $A$ 和 $A^2$ 的零特徵值的代數重數同為 $2$ ，幾何重數分別是 $1$ 和 $2$ ，特徵空間如下：

$\displaystyle N(A)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\right\},~~N(A^2)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\right\}$ 。

這解釋了何以 $A$ 不可對角化，但 $A^2$ 可對角化。對於 $k>2$ ， $A^k$ 是否都可對角化呢？我們還要解析當 $\lambda\neq 0$ ， $A^k$ 對應 $\lambda^k$ 的特徵空間與 $A$ 對應 $\lambda$ 的特徵空間之間的關係。

若 $\lambda\neq 0$ 的代數重數為 $m$ ，利用 $A$ 的 Jordan 形式，寫出

$\displaystyle\begin{aligned} A^k-\lambda^kI&=M\begin{bmatrix} \ddots&&\\ &J(\lambda)^k&\\ &&\ddots \end{bmatrix}M^{-1}-M\lambda^kIM^{-1}\\ &=M\begin{bmatrix} \ddots&&\\ &J(\lambda)^k-\lambda^kI_m&\\ &&\ddots \end{bmatrix}M^{-1} \end{aligned}$

其中 $m\times m$ 階 $J(\lambda)^k$ 由下列 $r\times r$ 階 Jordan 分塊的冪的直和所構成 (見“矩陣函數(下)”)：

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{bmatrix} \lambda&1&0&\cdots&0\\ &\lambda&1&\ddots&\vdots\\ &&\ddots&\ddots&0\\ &&&\lambda&1\\ &&&&\lambda \end{bmatrix}^k&=\begin{bmatrix} \lambda^k&k\lambda^{k-1}&\frac{k(k-1)}{2}\lambda^{k-2}&\cdots&\frac{k(k-1)\cdots(k-r+2)}{(r-1)!}\lambda^{k-r+1}\\ &\lambda^k&k\lambda^{k-1}&\ddots&\vdots\\ &&\ddots&\ddots&\frac{k(k-1)}{2}\lambda^{k-2}\\[0.3em] &&&\lambda^k&k\lambda^{k-1}\\ &&&&\lambda^k \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \lambda^k&\binom{k}{1}\lambda^{k-1}&\binom{k}{2}\lambda^{k-2}&\cdots&\binom{k}{r-1}\lambda^{k-r+1}\\ &\lambda^k&\binom{k}{1}\lambda^{k-1}&\ddots&\vdots\\ &&\ddots&\ddots&\binom{k}{2}\lambda^{k-2}\\[0.5em] &&&\lambda^k&\binom{k}{1}\lambda^{k-1}\\ &&&&\lambda^k \end{bmatrix}.\end{aligned}$

所以， $J(\lambda)^k-\lambda^kI_m$ 由下列 $r\times r$ 階分塊的直和組成：

$\displaystyle L_r=\begin{bmatrix} 0&\binom{k}{1}\lambda^{k-1}&\binom{k}{2}\lambda^{k-2}&\cdots&\binom{k}{r-1}\lambda^{k-r+1}\\ &0&\binom{k}{1}\lambda^{k-1}&\ddots&\vdots\\ &&\ddots&\ddots&\binom{k}{2}\lambda^{k-2}\\[0.5em] &&&0&\binom{k}{1}\lambda^{k-1}\\ &&&&0 \end{bmatrix}$ 。

因為 $\lambda\neq 0$ 且 $k\ge 1$ ， $\dim N(L_r)=1$ ，表示 $\dim N\left(J(\lambda)^k-\lambda^kI_m\right)$ 等於 $J(\lambda)$ 所含的 Jordan 分塊數，故不隨 $k$ 增大而改變。再者，相似變換矩陣 $M$ 與 $k$ 無關，推論 $A^k$ 對應 $\lambda^k\neq 0$ 的特徵空間為 $N(A^k-\lambda^kI)=N(A-\lambda I)$ ， $k\ge 1$ 。請注意，如果兩相異非零特徵值 $\lambda$ 和 $\mu$ 使得 $\lambda^k=\mu^k$ ，我們可以通過直和合併特徵空間。

最後我們將冪矩陣的特徵值與特徵向量整理於下：令 $n\times n$ 階矩陣 $A$ 有特徵對 $(\lambda_i,\mathbf{x}_i)$ ， $i=1,\ldots,n$ ，且 $k\ge 1$ 。

$A^k$ 的特徵值為 $\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k$ 。
若 $\lambda=0$ ， $A^k$ 的零特徵值所對應的特徵空間 $N(A^k)$ 滿足 $N(A^k)\subseteq N(A^{k+1})$ 。隨著 $k$ 增大， $A^k$ 的零特徵值的幾何重數 $\dim N(A^k)$ 跟著增大。當 $N(A^k)$ 停止改變時， $\lambda=0$ 的幾何重數等於代數重數。
若相異特徵值 $\lambda,\mu\neq 0$ ，使得 $\lambda^k=\mu^k$ ， $A^k$ 對應 $\lambda^k$ (即 $\mu^k$ ) 的特徵空間為 $N(A^k-\lambda^kI)=N(A-\lambda I)\oplus N(A-\mu I)$ ，幾何重數的總數不變。此性質推廣至多個相異特徵值亦成立。

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