答Vahi Chen──關於矩陣的轉置的線性變換表示矩陣

網友Vahi Chen留言:

周老师,您好!向您请教一个问题。我们知道:

  1. 线性变换可以表示为矩阵的乘积;
  2. 矩阵的转置是一个线性函数;
  3. 不存在一个矩阵 M,使得对于任意一个矩阵 A,都有 MA=A^T

但若给定一个矩阵 A,我们是否总能找到一个矩阵 M,使其满足 MA=A^T?而显然答案是否定的。考虑 M\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\ 0&0\end{bmatrix},满足该等式的 M 并不存在。所以,我的疑问是既然矩阵转置是线性函数,而线性函数又可以表示为矩阵的乘积,但针对上述的特例,这样的矩阵却有可能不存在。“可以表示”和“有可能不存在”这两者是否互为矛盾,或者这二者之间存在怎样的一种联系?是否可以说:“线性变换并不总是能表示为矩阵的乘积,因为这样的矩阵可能并不存在”?

 
答曰:

\mathbb{C}^{n\times n} (另一個常見的符號是 \mathcal{M}_n(\mathbb{C})) 表示 n\times n 階複矩陣所形成的向量空間 (或稱線性空間)。對於 A=[a_{ij}]\in\mathbb{C}^{n\times n},我們定義矩陣的轉置為 T(A)=A^T,其中 (A^T)_{ij}=a_{ji}。矩陣的轉置 T:\mathbb{C}^{n\times n}\to\mathbb{C}^{n\times n} 是一個線性變換 (或稱線性算子),因為

\displaystyle\begin{aligned}  T(A+B)&=(A+B)^T=A^T+B^T=T(A)+T(B),\\  T(cA)&=(cA)^T=cA^T=cT(A),  \end{aligned}

其中 A,B\in\mathbb{C}^{n\times n}c\in\mathbb{C}

 
所謂「線性變換可以表示為矩陣的乘積」並不是說存在一個矩陣 M\in\mathbb{C}^{n\times n} 使得每一個 A\in\mathbb{C}^{n\times n} 滿足 T(A)=MA=A^T。事實上,正如你在問題陳述指出滿足上面等式的 M 並不存在,背後的原因在於 n\times n 階矩陣 M:\mathbf{x}\mapsto M\mathbf{x} 是一個從向量空間 \mathbb{C}^n 映至 \mathbb{C}^n 的線性變換,而 T:A\mapsto A^T 卻是從 \mathbb{C}^{n\times n} 映至 \mathbb{C}^{n\times n} 的線性變換。我們的思考誤區「牛頭不對馬嘴」源自於未能掌握這個事實:「任一線性變換必須通過基底與座標映射方能以矩陣乘法運算實現」。解釋於下:令 \mathcal{V} 為一個有限維向量空間,且 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m\}\mathcal{V} 的一組有序基底,表明 \dim\mathcal{V}=m。令 T:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 為一個線性變換。對於任一 \mathbf{x}\in\mathcal{V},寫出 \mathbf{x} 的線性組合式

\displaystyle     \mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_m\mathbf{v}_m

其中係數組 c_1,\ldots,c_m 唯一存在。據此,定義向量 \mathbf{x} 參考基底 \boldsymbol{\beta} 的座標向量為

\displaystyle   \begin{bmatrix}  \mathbf{x}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  c_1\\  \vdots\\  c_m  \end{bmatrix}

其中座標映射 [\cdot]_{\boldsymbol{\beta}} 是從向量空間 \mathcal{V} 至幾何向量空間 \mathbb{C}^m 的線性變換。明顯地,[\cdot]_{\boldsymbol{\beta}} 是單射 (injective 或 one-to-one) 且滿射 (surjective 或 onto),稱為同構映射 (isomorphism),也就是說,\mathcal{V}\mathbb{C}^m 是同構的 (isomorphic) 向量空間 (見“同構的向量空間”)。同樣地,基底向量 \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m 經線性變換 T 映射得到的像 (image) T(\mathbf{v}_1),\ldots,T(\mathbf{v}_m) 也有相應的唯一座標向量,設為

\displaystyle    \begin{bmatrix}  T(\mathbf{v}_j)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  b_{1j}\\  \vdots\\  b_{mj}  \end{bmatrix},~~j=1,\ldots,m

因為 T[\cdot]_{\boldsymbol{\beta}} 都是線性變換,可得 T(\mathbf{x}) 參考基底 \boldsymbol{\beta} 的座標向量,如下:

\displaystyle \begin{aligned}   \begin{bmatrix}  T(\mathbf{x})  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&=  \begin{bmatrix}  T(c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_m\mathbf{v}_m)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\\  &=\begin{bmatrix}  c_1T(\mathbf{v}_1)+\cdots+c_mT(\mathbf{v}_m)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\\  &=c_1\begin{bmatrix}  T(\mathbf{v}_1)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}+\cdots+c_m\begin{bmatrix}  T(\mathbf{v}_m)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\\  &=c_1\begin{bmatrix}  b_{11}\\  \vdots\\  b_{m1}  \end{bmatrix}+\cdots+c_m\begin{bmatrix}  b_{1m}\\  \vdots\\  b_{mm}  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  b_{11}&\cdots&b_{1m}\\  \vdots&\ddots&\vdots\\  b_{m1}&\cdots&b_{mm}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  c_1\\  \vdots\\  c_m  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  \mathbf{x}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}},  \end{aligned}

其中 m\times m

\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  T(\mathbf{v}_1)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&\cdots&\begin{bmatrix}  T(\mathbf{v}_m)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  b_{11}&\cdots&b_{1m}\\  \vdots&\ddots&\vdots\\  b_{m1}&\cdots&b_{mm}  \end{bmatrix}

稱為線性變換 T 參考基底 \boldsymbol{\beta} 的表示矩陣 (見“線性變換表示矩陣”)。上面的推論顯示「線性變換可以表示為矩陣的乘積」的意思是給定向量空間 \mathcal{V} 的一個基底 \boldsymbol{\beta},向量 \mathbf{x} 的像 T(\mathbf{x}) 的座標向量 \begin{bmatrix}  T(\mathbf{x})  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 即為線性變換表示矩陣 [T]_{\boldsymbol{\beta}} 與座標向量 [\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}} 的乘積。一旦得到 [T(\mathbf{x})]_{\boldsymbol{\beta}}=(d_1,\ldots,d_m)^T,便有 T(\mathbf{x})=d_1\mathbf{v}_1+\cdots+d_m\mathbf{v}_m

 
下面說明矩陣的轉置 T(A)=A^T 的表示矩陣以及採用矩陣乘積的算法。以 n=2 為例,考慮 \mathbb{C}^{2\times 2} 的一組有序基底

\displaystyle     \boldsymbol{\beta}=\{V_1,V_2,V_3,V_4\}=  \left\{\begin{bmatrix}    1&0\\    0&0    \end{bmatrix},~  \begin{bmatrix}    0&1\\    0&0    \end{bmatrix},~  \begin{bmatrix}    0&0\\    1&0    \end{bmatrix},~  \begin{bmatrix}    0&0\\    0&1    \end{bmatrix}\right\}

計算基底向量的像,可得

\displaystyle       T(V_1)=\begin{bmatrix}    1&0\\    0&0    \end{bmatrix},~  T(V_2)=\begin{bmatrix}    0&0\\    1&0    \end{bmatrix},~  T(V_3)=\begin{bmatrix}  0&1\\    0&0    \end{bmatrix},~  T(V_4)=\begin{bmatrix}  0&0\\    0&1    \end{bmatrix}

轉置變換 T 參考基底 \boldsymbol{\beta}4\times 4 階表示矩陣即為

\displaystyle       \begin{bmatrix}    T    \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=  \begin{bmatrix}    \begin{bmatrix}  T(V_1)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&  \begin{bmatrix}  T(V_2)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&  \begin{bmatrix}  T(V_3)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&  \begin{bmatrix}  T(V_4)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}  =\begin{bmatrix}  1&0&0&0\\    0&0&1&0\\    0&1&0&0\\    0&0&0&1    \end{bmatrix}

寫出 A=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix} 的座標向量 [A]_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  a\\  b\\  c\\  d  \end{bmatrix},故 A^T 的座標向量為

\displaystyle  \begin{bmatrix}  A^T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  A  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  1&0&0&0\\    0&0&1&0\\    0&1&0&0\\    0&0&0&1    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  a\\  b\\  c\\  d  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  a\\  c\\  b\\  d  \end{bmatrix}

立得

\displaystyle  A^T=a\begin{bmatrix}  1&0\\  0&0  \end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}  0&1\\  0&0  \end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}  0&0\\  1&0  \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}  0&0\\  0&1  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  a&c\\  b&d  \end{bmatrix}

 
最後補充一個轉置矩陣的性質。給定一個方陣 A,雖然我們未必總能找到 M 使得 MA=A^T,但必定存在一個可逆矩陣 M 使得 MAM^{-1}=A^T。換句話說,A^T 相似於 A (詳見“矩陣與其轉置的相似性”),因此 A^TA 有相同的秩、特徵多項式、特徵值、行列式、跡數 (trace),以及 Jordan 形式 (詳見“相似變換下的不變性”)。

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1 則回應給 答Vahi Chen──關於矩陣的轉置的線性變換表示矩陣

  1. Vahi Chen 說:

    感谢周老师及时而详实的解答,受益匪浅。感恩!

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