每週問題 June 22, 2015

本週問題是證明正交變換的一些性質。

Let T be a linear operator on an inner product space \mathcal{V} of dimension n. If T is an orthogonal transformation, i.e., \left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{y})\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle, for every \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V}, prove the following statements.

(a) \Vert T(\mathbf{x})\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert for every \mathbf{x}\in\mathcal{V}.
(b) \vert \lambda\vert=1 for every eigenvalue of T.
(c) If \{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_n\} is an orthonormal set for \mathcal{V}, then so is \{T(\mathbf{u}_1),\ldots,T(\mathbf{u}_n)\}.
(d) The matrix representation A of T under an orthonormal basis for \mathcal{V} is a unitary matrix, i.e., A^\ast A=AA^\ast=I.

 
參考解答:

(a):以 \mathbf{x} 取代 \mathbf{y}\left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{x})\right\rangle=\left\langle \mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle 表明 \Vert T(\mathbf{x})\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert

(b):令 \mathbf{x} 為線性算子 T 對應特徵值 \lambda 的一個單位特徵向量。使用 (a),可得

\displaystyle  \vert \lambda\vert=\vert\lambda \vert \Vert\mathbf{x}\Vert=\Vert \lambda\mathbf{x}\Vert=\Vert T(\mathbf{x})\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert=1

(c) 假設 \{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_n\} 為一個單範正交集 (orthonormal set),滿足 \left\langle \mathbf{u}_i,\mathbf{u}_j\right\rangle=\delta_{ij},其中 \delta_{ij}=1i=j,否則 \delta_{ij}=0。對於 1\le i,j\le n,根據定義,\left\langle T(\mathbf{u}_i),T(\mathbf{u}_j)\right\rangle=\left\langle \mathbf{u}_i,\mathbf{u}_j\right\rangle=\delta_{ij}

(d) 假設 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_n\} 為內積空間 \mathcal{V} 的一組單範正交基底。對於任意 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V},寫出唯一線性組合式 \mathbf{x}=c_1\mathbf{u}_1+\cdots+c_n\mathbf{u}_n\mathbf{y}=d_1\mathbf{u}_1+\cdots+d_n\mathbf{u}_n。使用內積性質,

\displaystyle\begin{aligned}  \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle  &=\left\langle \sum_{i=1}^nc_i\mathbf{u}_i,\sum_{j=1}^nd_j\mathbf{u}_j\right\rangle\\  &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline{c_i}d_j\left\langle \mathbf{u}_i,\mathbf{u}_j\right\rangle\\  &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline{c_i}d_j\delta_{ij}\\  &=\sum_{i=1}^n\overline{c_i}d_i\\  &=[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}^\ast[\mathbf{y}]_{\boldsymbol{\beta}},  \end{aligned}

上面令座標向量 [\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}=(c_1,\cdots,c_n)^T[\mathbf{y}]_{\boldsymbol{\beta}}=(d_1,\cdots,d_n)^T。設 A=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n  \end{bmatrix}T 參考單範正交基底 \boldsymbol{\beta} 的表示矩陣,其中 \mathbf{a}_j=[T(\mathbf{u}_j)]_{\boldsymbol{\beta}}。使用上面結果與 (c),

\displaystyle  (A^\ast A)_{ij}=\mathbf{a}_i^\ast\mathbf{a}_j=[T(\mathbf{u}_i)]_{\boldsymbol{\beta}}^\ast[T(\mathbf{u}_j)]_{\boldsymbol{\beta}}=\left\langle T(\mathbf{u}_i),T(\mathbf{u}_j)\right\rangle=\delta_{ij}

因此證明 A^\ast A=I

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