AB 相似於 BA 的充要條件

本文的閱讀等級:中級

ABn\times n 階矩陣。矩陣乘積 ABBA 有相同的特徵值 (包含相重特徵值),但並不總是相似。例如,A=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&0  \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}  0&1\\  0&0  \end{bmatrix},則 AB=\begin{bmatrix}  0&1\\  0&0  \end{bmatrix}BA=\begin{bmatrix}  0&0\\  0&0  \end{bmatrix} 的特徵多項式同為 p(t)=t^2。觀察出 AB 不可對角化而 BA 可對角化,表明 ABBA 不具相似性。本文介紹 AB 相似於 BA 的一個充分與必要條件:\text{rank}(AB)^k=\text{rank}(BA)^kk=1,2,\ldots,n,並討論幾個相似性的判定方式 (充分條件)。

 
定理1ABBA 有相同的特徵多項式。

我們運用等價標準型來證明 (其他證法請見“分塊矩陣的解題案例──逆矩陣與矩陣乘積的特徵值”,“連續論證法”)。設 r=\text{rank}A。通過基本列行運算可得 A 的等價標準型 (見“每週問題 April 20, 2009”)

\displaystyle  A=P\begin{bmatrix}  I_r&0\\  0&0  \end{bmatrix}Q

其中 PQn\times n 階可逆矩陣,I_rr\times r 階單位矩陣。令

\displaystyle  \begin{bmatrix}  B_{11}&B_{12}\\  B_{21}&B_{22}  \end{bmatrix}=QBP

其中 B_{11}r\times r 階,B_{22}(n-r)\times(n-r) 階。因此,

\displaystyle  B=Q^{-1}\begin{bmatrix}  B_{11}&B_{12}\\  B_{21}&B_{22}  \end{bmatrix}P^{-1}

計算

\displaystyle  AB=P\begin{bmatrix}  I_r&0\\  0&0  \end{bmatrix}QQ^{-1}\begin{bmatrix}  B_{11}&B_{12}\\  B_{21}&B_{22}  \end{bmatrix}P^{-1}=P\begin{bmatrix}  B_{11}&B_{12}\\  0&0  \end{bmatrix}P^{-1}

兩相似矩陣有相同的特徵多項式,可知 AB 的特徵多項式為 p_{AB}(t)=t^{n-r}p_{B_{11}}(t)。類似地,

\displaystyle  BA=Q^{-1}\begin{bmatrix}  B_{11}&B_{12}\\  B_{21}&B_{22}  \end{bmatrix}P^{-1}P\begin{bmatrix}  I_r&0\\  0&0  \end{bmatrix}Q=Q^{-1}\begin{bmatrix}  B_{11}&0\\  B_{21}&0  \end{bmatrix}Q

BA 的特徵多項式為 p_{BA}(t)=t^{n-r}p_{B_{11}}(t),故得證。

 
兩相似矩陣等價於兩矩陣有相同的 Jordan 形式,我們利用這個性質來探討 AB 相似於 BA 的充要條件。Jordan 形式由對應相異特徵值的 Jordan 分塊的直和構成,下面分開兩種情況討論:非零特徵值與零特徵值。

 
定理2:對應每一非零特徵值,ABBA 有相同的 Jordan 分塊。

詳細證明請見“AB 和 BA 的關係:Jordan 分塊篇”。因此,AB 相似於 BA 的一個充要條件是:對應零特徵值,ABBA 有相同的 Jordan 分塊。給定任一 n\times n 階矩陣 C,對應特徵值 \lambda 的 Jordan 分塊結構完全由下列冪矩陣的秩差額決定 (見“Jordan 形式大解讀 (下)”):

\displaystyle  d_k(\lambda)=\text{rank}(C-\lambda I)^{k-1}-\text{rank}(C-\lambda I)^k,~~k=1,\ldots,n

我們定義 \text{rank}(C-\lambda I)^0\equiv n。以上結果給出了以矩陣秩表達的 AB 相似於 BA 的充要條件。

定理3AB 相似於 BA 若且惟若 \text{rank}(AB)^k=\text{rank}(BA)^kk=1,\ldots,n

 
見下例:A=\begin{bmatrix}  1&1\\  1&1  \end{bmatrix}B=\left[\!\!\begin{array}{rr}  1&1\\  -1&-1  \end{array}\!\!\right]。算出 AB=0BA=\left[\!\!\begin{array}{rr}  2&2\\  -2&-2  \end{array}\!\!\right]\text{rank}(AB)=0\text{rank}(BA)=1,定理3說明 ABBA 不相似。接著討論幾個 AB 相似於 BA 的充分條件。

 
充分條件1:若 \text{rank}A=\text{rank}(AB)=\text{rank}(BA),則 AB 相似於 BA

假設 r=\text{rank}A=\text{rank}(AB)=\text{rank}(BA)。如果能證明 \text{rank}(AB)^k=\text{rank}(BA)^kk=1,\ldots,n,引用定理3即證得所求。定理1的證明過程指出 AB 相似於 \begin{bmatrix}  X\\  0  \end{bmatrix}BA 相似於 \begin{bmatrix}  Y&0  \end{bmatrix},其中 X=\begin{bmatrix}  B_{11}&B_{12}  \end{bmatrix}r\times n 階,Y=\begin{bmatrix}  B_{11}\\  B_{21}  \end{bmatrix}n\times r 階。相似變換不改變矩陣秩,得知 r=\text{rank}X=\text{rank}Y,也就是說 X 是滿列秩 (full row rank),且 Y 是滿行秩 (full column rank)。我們需要這個性質:對於任一 r\times r 階矩陣 M

\displaystyle   \text{rank}(MX)=\text{rank}M=\text{rank}(YM)

證明於下:使用矩陣秩恆等式 (見“運用輸入輸出模型活化秩─零度定理”)

\displaystyle  \text{rank}(YM)=\text{rank}M-\dim (N(Y)\cap C(M))

其中 N(Y) 表示 Y 的零空間,C(M) 表示 M 的行空間。因為 Y 是滿行秩,N(Y)=\{\mathbf{0}\},即得 \text{rank}M=\text{rank}(YM)。同樣道理,X^T 是滿行秩,便有

\displaystyle   \text{rank}M=\text{rank}M^T=\text{rank}(X^TM^T)=\text{rank}(MX)

不難驗證

\displaystyle  (AB)^k=P\begin{bmatrix}  B_{11}&B_{12}\\  0&0  \end{bmatrix}^kP^{-1}=P\begin{bmatrix}  B_{11}^k&B_{11}^{k-1}B_{12}\\  0&0\end{bmatrix}P^{-1}=P\begin{bmatrix}  B_{11}^{k-1}X\\  0  \end{bmatrix}P^{-1}

\displaystyle  (BA)^{k}=Q^{-1}\begin{bmatrix}  B_{11}&0\\  B_{21}&0  \end{bmatrix}^{k}Q=Q^{-1}\begin{bmatrix}  B_{11}^{k}&0\\  B_{21}B_{11}^{k-1}&0  \end{bmatrix}Q=Q^{-1}\begin{bmatrix}  YB_{11}^{k-1}&0  \end{bmatrix}Q

使用上述恆等式,

\displaystyle  \text{rank}(AB)^{k}=\text{rank}(B_{11}^{k-1}X)=\text{rank}(B_{11}^{k-1})=\text{rank}(YB_{11}^{k-1})=\text{rank}(BA)^k

其中 k=1,\ldots,n

 
充分條件2:若 B 是可逆矩陣,則 AB 相似於 BA

B 是可逆矩陣,則 AB=B^{-1}(BA)B,表明 AB 相似於 BA。另一方面,B 可逆推得 \text{rank}A=\text{rank}(AB)=\text{rank}(BA),由充分條件1也可得到相同的結論。

 
充分條件3:若 A^T=AB^T=B,則 AB 相似於 BA

AB 是對稱矩陣 (包含實或複矩陣),則 (AB)^T=B^TA^T=BA。因為 AB 相似於 (AB)^T (見“矩陣與其轉置的相似性”),推論 AB 相似於 BA。不過,充分條件1對此情況未必管用。舉例來說,A=\begin{bmatrix}  1&1\\  1&1  \end{bmatrix}B=\left[\!\!\begin{array}{rr}  1&-1\\  -1&1  \end{array}\!\!\right],則有 AB=BA=0,但 \text{rank}A=1

 
充分條件4:若 A^\ast=AB^\ast=B,則 AB 相似於 BA

證明請見“Hermitian 矩陣乘積的性質”,定理六。

Advertisements
本篇發表於 線性代數專欄, 典型形式 並標籤為 , , 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s