每週問題 June 29, 2015

給定矩陣 A,找出所有的可交換矩陣 B 使得 AB=BA

Let

\displaystyle  A=\begin{bmatrix}  1&0&0\\  0&1&0\\  3&1&2  \end{bmatrix}.

Find all matrices B such that AB=BA.

 
參考解答:

B=[b_{ij}] 使得 AB=BA,代入數值可得包含9個變數 b_{ij}1\le i,j\le 3,的齊次方程,化簡即得所求。下面介紹另一個方法。令 C 為一可逆矩陣。若 AB=BA

\displaystyle  (C^{-1}AC)(C^{-1}BC)=C^{-1}ABC=C^{-1}BAC=(C^{-1}BC)(C^{-1}AC)

(C^{-1}AC)(C^{-1}BC)=(C^{-1}BC)(C^{-1}AC)

\displaystyle  AB=C(C^{-1}AC)(C^{-1}BC)C^{-1}=C(C^{-1}BC)(C^{-1}AC)C^{-1}=BA

因此,AB 是可交換矩陣等價於 C^{-1}ACC^{-1}BC 是可交換矩陣。將 A 對角化為 A=SDS^{-1},其中 D=\text{diag}(1,1,2)

\displaystyle  S=\left[\!\!\begin{array}{rrc}  1&0&0\\  0&1&0\\  -3&-1&1  \end{array}\!\!\right]

不難驗證任一 E 使得 ED=DE 具有下列型態:

\displaystyle  E=\begin{bmatrix}  a&b&0\\  c&d&0\\  0&0&e  \end{bmatrix}

所以,滿足 AB=BA 的所有 B 矩陣為

\displaystyle\begin{aligned}  B&=SES^{-1}\\  &=\left[\!\!\begin{array}{rrc}  1&0&0\\  0&1&0\\  -3&-1&1  \end{array}\!\!\right]  \begin{bmatrix}  a&b&0\\  c&d&0\\  0&0&e  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}  1&0&0\\  0&1&0\\  3&1&1  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  a&b&0\\  c&d&0\\  -3a-c+3e&-3b-d+e&e  \end{bmatrix}.\end{aligned}

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