2015 年大學指考數甲的線性代數問題

報載[1]:「大考中心審題老師說,相較數乙,數甲則是『平易近人』,近3年來最簡單,沒有複雜繁瑣的計算,只要題目讀過去,頭腦清楚就可以作答,預估五標都可能上升。」下面抄錄今年大學指考數學甲的一則線性代數問題 (2015 年大學指考數甲試題與解答)。

問題:考慮坐標平面上的直線 L:3x-2y=1。若 a 為實數且二階方陣 \left[\!\!\begin{array}{cr}  1&0\\  a&-8  \end{array}\!\!\right] 所代表的線性變換可以將 L 上的點變換到一條斜率為 2 的直線,則 a 的值為下列哪一個選項?

(1) 6
(2) 8
(3) 10
(4) 12
(5) 14

 
解答:兩點決定一線。按照問題的陳述,找出直線 L 上的兩個相異點,計算經線性變換後的坐標,設穿越該兩點的直線的斜率為 2,即可解出未知數 a。比較敏銳的學生應當發覺既然我們可以隨意選擇直線 L 上的任兩相異點,就表示 L 的指向向量 \begin{bmatrix}  2\\  3  \end{bmatrix} 經變換後平行於斜率為 2 的直線的指向向量 \begin{bmatrix}  1\\  2  \end{bmatrix},即有

\displaystyle  \left[\!\!\begin{array}{cr}  1&0\\  a&-8  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}  2\\  3  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  2\\  2a-24  \end{bmatrix}=\alpha\begin{bmatrix}  1\\  2  \end{bmatrix}

解出 \alpha=2a=14,正確選項為 (5)。

 
具創意與想像力的學生可能採取這個跳躍解法:直線 L 的法向量 \left[\!\!\begin{array}{r}  3\\  -2  \end{array}\!\!\right] 經變換後平行於斜率為 2 的直線的法向量,即 \left[\!\!\begin{array}{r}  2\\  -1  \end{array}\!\!\right],也就有

\displaystyle  \left[\!\!\begin{array}{cr}  1&0\\  a&-8  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{r}  3\\  -2  \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix}  3\\  3a+16  \end{bmatrix}=\beta\left[\!\!\begin{array}{r}  2\\  -1  \end{array}\!\!\right]

解出 \beta=3/2a=-35/6。奇怪,怎麼會有不同的 a 值?計算並沒有錯,問題出在我們誤以為直線指向 (斜率) 的變換可以用法向量的變換替換。事實上,直線 L 的法向量經變換後的結果為

\displaystyle  \left[\!\!\begin{array}{rr}  1&0\\  14&-8  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{r}  3\\  -2  \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{r}  3\\  58  \end{array}\!\!\right]

這個現象的根本原因在於線性變換不總具有保角性──兩向量的夾角不因線性變換而改變。考試時,創意還是要服膺基本的數學規律。

 
設想,如果今年入闈出題的老師不是那麼「平易近人」,我們看到的考題可能如下:

問題:考慮坐標平面上的直線 L:3x-2y=1。若 a 為實數且二階方陣 \left[\!\!\begin{array}{cr}  1&0\\  a&-8  \end{array}\!\!\right] 所代表的線性變換可以將 L 上的點變換到一條法向量為 \left[\!\!\begin{array}{r}  2\\  -1  \end{array}\!\!\right] 的直線,則 a 的值為下列哪一個選項?

(1) 6
(2) 8
(3) 10
(4) -35/6
(5) 14

我估計很多人都會猜 a 是那個外表長得最不一樣的選項。

 
引用來源:
[1] 聯合新聞網:數學甲有鑑別度「比數乙簡單太多」。插一句話,太簡單的考題怎麼可能有鑑別度呢?

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