AXB=C 有解的充要條件──續篇

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Am\times n 階,Bp\times q 階,Cm\times q 階矩陣。考慮線性方程

\displaystyle  AXB=C

其中 Xn\times p 階未知矩陣。我們曾經在前文“AXB=C 有解的充要條件”介紹 AXB=C 有解的兩個充要條件。本文再補充一個基於 Moore-Penrose 偽逆矩陣 (pseudo-inverse) 的充要條件,並給出 AXB=C 的通解表達式。對於 m\times n 階矩陣 A,存在唯一的 n\times m 階矩陣 A^+,稱為 Moore-Penrose 偽逆矩陣,使得 AA^+A=AA^+AA^+=A(AA^+)^\ast=AA^+(A^+A)^\ast=A^+A (見“Moore-Penrose 偽逆矩陣”)。線性方程 AXB=C 存在解的三個等價充要條件整理於下:

  1. 存在矩陣 YZ 使得 AY=CZB=C
  2. \text{rank}\begin{bmatrix}  A&C  \end{bmatrix}=\text{rank}A\text{rank}\begin{bmatrix}  B\\  C  \end{bmatrix}=\text{rank}B
  3. AA^+CB^+B=C

 
相對前文以等價標準型論證條件1推得 AXB=C 有解,使用偽逆矩陣定義的證明較為簡易。若 AY=CZB=C,可得

\displaystyle  C=AY=AA^+AY=AA^+C

而且

\displaystyle  C=ZB=ZBB^+B=CB^+B

合併兩式,

\displaystyle  C=AA^+C=AA^+CB^+B

X_p=A^+CB^+AXB=C 的一個特解,說明條件3是 AXB=C 有解的一個充分條件。反向論述同樣簡單。若 AXB=C,則

\displaystyle  C=AXB=AA^+AXBB^+B=AA^+CB^+B

 
如果 AXB=C 存在解,通解的形式如下:

\displaystyle  X=A^+CB^++W-A^+AWBB^+

其中 W 是任意 n\times p 階矩陣。因為 AX_pB=AA^+CB^+B=C,我們只要證明 X_h=W-A^+AWBB^+ 是齊次方程 AXB=0 的通解即可。若 X 使得 AXB=0,即 B^\ast(AX)^\ast=0,說明 \text{ran}(XB)\subseteq \ker(A)\text{ran}((AX)^\ast)\subseteq \ker(B^\ast),其中 \text{ran}(\cdot) 表示值域 (range),即行空間 (column space),\ker(\cdot) 表示核 (kernel),即零空間 (nullspace)。因為 A^+ABB^+ 分別是正交投影至 \text{ran}(A^\ast)\text{ran}(B) 的投影矩陣 (證明見附註或“偽逆矩陣與轉置矩陣的二三事”,Q6),故 I_n-A^+AI_p-BB^+ 分別是正交投影至 \ker(A)=\text{ran}(A^\ast)^{\perp}\ker(B^\ast)=\text{ran}(B)^{\perp} 的投影矩陣。因此,XB 的形式為

\displaystyle\begin{aligned}   XB&=(I_n-A^+A)UB=UB-A^+AUB\\  &=UB-A^+AUBB^+B=(U-A^+AUBB^+)B,\end{aligned}

其中 U 是任意矩陣。另一方面,AX 的形式為

\displaystyle\begin{aligned}   AX&=AV(I_p-BB^+)=AV-AVBB^+\\  &=AV-AA^+AVBB^+=A(V-A^+AVBB^+),\end{aligned}

其中 V 是任意矩陣。上面兩式表明 AXB=0 的通解為 X_h=W-A^+AWBB^+,其中 W 是任意矩陣。若 \text{rank}A=n\text{rank}B=p,則 A^+A=I_nBB^+=I_p (見“Moore-Penrose 偽逆矩陣”,表達式),即得 X_h=W-I_nWI_p=0。換句話說,當 A 是滿行秩且 B 是滿列秩時,AXB=C 有唯一解 X=A^+CB^+

 
附註:
P=A^+AQ=BB^+。根據定義,P^\ast=PQ^\ast=Q,並有 P^2=(A^+AA^+)A=A^+A=PQ^2=(BB^+B)B^+=BB^+=Q,故 PQ 是正交投影矩陣 (見“正交投影矩陣的性質與界定”)。接著證明 \text{ran}(P)=\text{ran}(A^\ast)\text{ran}(Q)=\text{ran}(B)。因為 P=P^\ast=A^\ast(A^+)^\astQ=BB^+,可知 \text{ran}(P)\subseteq \text{ran}(A^\ast)\text{ran}(Q)\subseteq \text{ran}(B)。另一方面,A^\ast=A^\ast(A^+)^\ast A^\ast=P^\ast A^\ast=PA^\astB=BB^+B=QB,說明 \text{ran}(A^\ast)\subseteq \text{ran}(P)\text{ran}(B)\subseteq \text{ran}(Q)

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