每週問題 July 6, 2015

這是么正矩陣 (或稱酉矩陣,unitary matrix) 的一個界定性質。

Let A be an n\times n matrix with all eigenvalues equal to 1 in absolute value. Show that A is a unitary matrix if, for all \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n,

\displaystyle \Vert A\mathbf{x}\Vert\le\Vert\mathbf{x}\Vert.

 
參考解答:

證明1. 令 A 的特徵值為 \lambda_1,\ldots,\lambda_n,奇異值為 \sigma_1,\ldots,\sigma_n\ge 0。給定的不等式等價於

\displaystyle \Vert A\Vert_2=\max_{\Vert\mathbf{x}\Vert\neq\mathbf{0}}\frac{\Vert A\mathbf{x}\Vert}{\Vert\mathbf{x}\Vert}=\sigma_{\max}\le 1

其中 \sigma_{\max}=\max_{1\le i\le n}\sigma_i。令 A 的奇異值分解為 A=U\Sigma V^\ast,其中 \Sigma=\text{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)U^\ast U=V^\ast V=I。使用恆等式 \det(A^\ast A)=\vert\det A\vert^2,又 \det(A^\ast A)=\det(\Sigma^\ast\Sigma)=\sigma_1^2\cdots\sigma_n^2\det A=\lambda_1\cdots\lambda_n,推得 \sigma_1\cdots\sigma_n=\vert \lambda_1\cdots\lambda_n\vert=\vert\lambda_1\vert\cdots\vert\lambda_n\vert=1。但 \sigma_{\max}\le 1,可知 \sigma_1=\cdots=\sigma_n=1。因此,A=U\Sigma V^\ast=UIV^\ast=UV^\ast,即知 A^\ast A=VU^\ast UV^\ast=I,證明 A 是一么正矩陣。

證明2. 根據 Schur 定理,寫出 A=UTU^\ast,其中 U 是么正矩陣,T=[t_{ij}] 是上三角矩陣,主對角元為 A 的特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_n,每一 \vert\lambda_i\vert=1。考慮 \mathbf{x}=U\mathbf{e}_n,其中 \mathbf{e}_n=(0,\ldots,0,1)^T 是第 n 個標準單位向量,則 \Vert\mathbf{x}\Vert=\Vert U\mathbf{e}_n\Vert=(\mathbf{e}_n^\ast U^\ast U\mathbf{e}_n)^{1/2}=1。我們得到

\displaystyle \Vert A\mathbf{x}\Vert=\Vert UTU^\ast U\mathbf{e}_n\Vert=\Vert UT\mathbf{e}_n\Vert=\Vert T\mathbf{e}_n\Vert=\left(\vert t_{1n}\vert^2+\cdots+\vert t_{n-1,n}\vert^2+\vert\lambda_n\vert^2\right)^{1/2}

對於單位向量 \mathbf{x},給定條件等價於 \Vert A\mathbf{x}\Vert\le 1,再有 \vert\lambda_n\vert=1,使得 t_{in}=01\le i\le n-1。套用歸納法,重複上述步驟令 \mathbf{x}=U\mathbf{e}_jj=n-1,n-2,\ldots,2,可推論 T 是一個對角矩陣滿足 T^\ast T=I (因為 \overline{\lambda_i}\lambda_i=\vert\lambda_i\vert^2=1)。所以,

A^\ast A=UT^\ast U^\ast UTU^\ast=UT^\ast TU^\ast=UU^\ast =I

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