每週問題 July 13, 2015

這是運用正規矩陣的一個證明問題。

Let A be an n\times n nonsingular matrix such that A^k=A^\ast for some k>1. Show that A^{k+1}=I.

 
參考解答:

因為 AA^\ast=AA^k=A^kA=A^\ast A,可知 A 是一正規矩陣 (normal matrix)。令 \lambda_1,\ldots,\lambda_nA 的特徵值。正規矩陣可么正對角化,寫出 A=UDU^\ast,其中 U 是一么正矩陣 (unitary matrix),滿足 U^\ast=U^{-1},且 D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)。設 \mathbf{x} 是對應特徵值 \lambda 的特徵向量,則

\displaystyle\begin{aligned}  \overline{\lambda}\Vert\mathbf{x}\Vert^2&=\left\langle\lambda\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle=\left\langle A\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},A^\ast\mathbf{x}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},A^k\mathbf{x}\right\rangle\\  &=\left\langle\mathbf{x},\lambda^k\mathbf{x}\right\rangle=\lambda^k\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle=\lambda^k\Vert\mathbf{x}\Vert^2.  \end{aligned}

因為 \mathbf{x}\neq\mathbf{0},可得 \lambda^k=\overline{\lambda},也就有 \vert\lambda^k\vert=\vert\lambda\vert^k=\vert\lambda\vert。但 A 是可逆矩陣,\lambda\neq 0,即知 \vert\lambda\vert^{k-1}=1,推得 \vert\lambda\vert=1 (因為 k>1)。所以,\lambda^k=\overline{\lambda}=1/\lambda,或 \lambda^{k+1}=1,推論 A^{k+1}=UD^{k+1}U^\ast=UIU^\ast=I

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2 Responses to 每週問題 July 13, 2015

  1. Meiyue Shao 說道:

    条件应改为 k>1.

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