每週問題 July 20, 2015

這是等價矩陣的問題。

Let A and B be n\times n matrices, n\ge 2. We say that A and B are equivalent if there exist nonsingular matrices P and Q such that B=PAQ. Show that every n\times n matrix M is equivalent to a matrix D where all diagonal elements are zero.

 
參考解答:

給定一 n\times n 階矩陣 M\text{rank}M=r\le n,存在可逆矩陣 PQ 使得 PMQ=\begin{bmatrix}  I_r&0\\  0&0  \end{bmatrix},稱為等價標準型。因此,M 等價於 D 若且惟若 \text{rank}M=\text{rank}D。設

D=\begin{bmatrix}  I_r&0\\  0&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0&1&0&\cdots&0\\  0&0&1&\cdots&0\\  \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\\  0&0&0&\cdots&1\\  1&0&0&\cdots&0  \end{bmatrix}

明顯地,\text{rank}D=r,證明 M 等價於 D=[d_{ij}],其中 d_{ii}=0i=1,\ldots,n

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