每週問題 July 27, 2015

Prove that there is no nonsingular matrix $P$ such that $PAP^{-1}=A^T$ for every $n\times n$ matrix $A$, $n\ge 2$.

$\displaystyle AB=P^{-1}A^TPP^{-1}B^TP=P^{-1}A^TB^TP=P^{-1}(BA)^TP=BA.$

$n\ge 2$$AB=BA$ 不總是成立，這樣便得到一個矛盾，證畢。