基本矩陣運算的定義

本文的閱讀等級：初級

德國數學家希爾伯特 (David Hilbert) 說^[1]：「一個數學理論不被認為是完整的，直到你可以說得很清楚──你能解釋給第一個在街上相遇的人聽。」長久以來，這個問題一直困擾著許多線性代數初學者：基本矩陣運算，包括矩陣加法、純量乘法以及矩陣乘法，是如何被定義出來的？基本矩陣運算的數學原因既不是商業機密亦非神祕主義，矩陣與其基本運算源自於線性代數的核心運轉機制──線性變換 (linear transformation) 或稱線性映射 (linear mapping)。定義於有限維向量空間 (vector space)，譬如，實座標向量空間 $\mathbb{R}^2$ ，複座標向量空間 $\mathbb{C}^3$ ，的線性變換可以用矩陣表示；矩陣加法、純量乘法與矩陣乘法分別對應線性變換的加法、純量乘法以及複合 (composition)。換句話說，線性變換涉及的所有計算工作都可以透過矩陣運算實現。有別於一般基礎線性代數教科書直接給出計算公式，本文從線性變換觀點定義基本矩陣運算，並利用此定義證明相關的運算法則。

我們用 $\mathbb{F}$ (稱為體或域，field) 代表實數系 $\mathbb{R}$ 或複數系 $\mathbb{C}$ (見“線性代數裡的代數結構”)。假設 $T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 為一個從座標向量空間 $\mathbb{F}^n$ 映至 $\mathbb{F}^m$ 的函數。在線性代數，我們習慣稱函數 $T$ 為一個變換或映射，它是一個數學機器，圖示如下：

$\mathbf{x}\longrightarrow\boxed{~~{T}~~}\longrightarrow T(\mathbf{x})$

其中 $\mathbf{x}\in\mathbb{F}^n$ 是輸入向量，對應的輸出向量 $T(\mathbf{x})\in\mathbb{F}^m$ 稱為 $\mathbf{x}$ 經變換 $T$ 得到的像 (image)。對於 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{F}^n$ 與純量 $\alpha\in\mathbb{F}$ ，若 $T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 滿足

$\begin{aligned} T(\mathbf{x}+\mathbf{y})&=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})\\ T(\alpha\mathbf{x})&=\alpha T(\mathbf{x}), \end{aligned}$

則稱 $T$ 是一個線性變換。第一式稱為可加性，第二式稱為均勻性，這兩個條件式可以合併成

$T(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})=\alpha T(\mathbf{x})+\beta T(\mathbf{y})$ ，

其中 $\alpha,\beta\in\mathbb{F}$ 。直白地說，向量加法與純量乘法 (合稱線性組合) 可在線性變換的輸入端執行 (等號左邊)，也可在輸出端執行 (等號右邊)，兩者有相同的結果。例如， $T_a(x_1,x_2)=(2x_1,x_2,x_1-3x_2)$ 與 $T_b(x_1,x_2,x_3)=(0,2x_1-x_3)$ 是線性變換，但 $T_c(x_1,x_2,x_3)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ 與 $T_d(x_1,x_2)=(2x_1+4,x_2x_3,x_1-3x_2)$ 不是線性變換。

矩陣向量乘法

線性變換 $T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 究竟是如何運作的？回答這個問題須引進一些新概念。平面上的一個點 $\mathbf{x}$ 可用座標表示， $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ ，或寫成行 (column) 向量形式：

$\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2$ ，

上面定義了 $\mathbf{e}_1=(1,0)$ 和 $\mathbf{e}_2=(0,1)$ ，合稱為 $\mathbb{R}^2$ 的標準基底 (basis，或稱基)。同樣地，向量空間 $\mathbb{F}^n$ 的標準基底為 $\{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\}$ ，其中單位向量 $\mathbf{e}_j$ 的第 $j$ 元是 $1$ ，其餘元是 $0$ 。任一向量 $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{F}^n$ 可表示成 $\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n$ 的線性組合

$\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix}+\cdots+x_n\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1 \end{bmatrix}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\cdots+x_n\mathbf{e}_n$ 。

將上式代入 $T(\mathbf{x})$ ，使用線性變換的兩個性質，可得

$\displaystyle \begin{aligned} T(\mathbf{x})&=T(x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\cdots+x_n\mathbf{e}_n)\\ &=T(x_1\mathbf{e}_1)+T(x_2\mathbf{e}_2)+\cdots+T(x_n\mathbf{e}_n)\\ &=x_1T(\mathbf{e}_1)+x_2T(\mathbf{e}_2)+\cdots+x_nT(\mathbf{e}_n). \end{aligned}$

如果我們知道 $T(\mathbf{e}_1),\ldots,T(\mathbf{e}_n)$ ，便可按係數 (權重) $x_1,\ldots,x_n$ 合成 $T(\mathbf{x})$ ，這是線性變換的一個重要特性。基於這個思想，令標準基底向量 $\mathbf{e}_j$ 的像為

$T(\mathbf{e}_j)=\mathbf{a}_j=\begin{bmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{bmatrix},~~~j=1,\ldots,n$ 。

給定輸入向量 $\mathbf{x}$ ， $T(\mathbf{x})$ 的線性組合表達式如下：

$T(\mathbf{x})=x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n=x_1\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{m1} \end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{m2} \end{bmatrix}+\cdots+x_n\begin{bmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{mn} \end{bmatrix}$ 。

線性變換 $T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 的作為完全由 $\{a_{ij}, 1\le i\le m, 1\le j\le n\}$ 決定，於是我們有了這個想法：將行向量 $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\in\mathbb{F}^m$ 合併成 $m\times n$ 階矩陣

$A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix}$ ，

稱為線性變換 $T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 的標準矩陣，我們以 $(A)_{ij}=a_{ij}\in\mathbb{F}$ 表示 $A$ 的 $(i,j)$ 元。上面的論述並未定義「矩陣」，我們定義的是「線性變換參考標準基底的表示矩陣」。在許多理論與應用場合，矩陣自有其存在的原因，譬如，一張圖片包含的像素或一頁試算表儲存的資料皆構成矩陣。在線性代數中，矩陣一般用來表示線性變換 (參考某個基底)。

對於 $\mathbf{x}\in\mathbb{F}^n$ ，我們定義矩陣 $A$ 與向量 $\mathbf{x}$ 之積 $A\mathbf{x}$ 為 $A$ 的行向量 $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n$ 的線性組合，並以 $\mathbf{x}$ 的元 $x_1,\ldots,x_n$ 當作組合係數：

$A\mathbf{x}=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}=x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n$ 。

我們如此定義矩陣向量乘法的用意是為了讓算式 $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ 成立。請注意， $A$ 的行向量數必須與 $\mathbf{x}$ 的維數 (即 $n$ ) 相等方可定義 $A\mathbf{x}$ 。如果 $T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 使得每一 $\mathbf{x}\in\mathbb{F}^n$ 都有 $T(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ ，則 $T$ 的標準矩陣為零矩陣 $0$ 。明顯地， $0\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，零矩陣與任何向量相乘得到零向量。給定線性變換 $T_1:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 與 $T_2:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ ，若每一 $\mathbf{x}\in\mathbb{F}^n$ 使得 $T_1(\mathbf{x})=T_2(\mathbf{x})$ ，則 $T_1$ 與 $T_2$ 有相同的標準矩陣，也就是說 $T_1=T_2$ 。換個講法，對於每一 $\mathbf{x}\in\mathbb{F}^n$ ，如果 $m\times n$ 階矩陣 $A$ 與 $B$ 滿足 $A\mathbf{x}=B\mathbf{x}$ ，則 $A=B$ 。稍後我們將利用這個性質證明一些矩陣運算法則。若 $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in\mathbb{F}^n$ 且純量 $\alpha\in\mathbb{F}$ ，請你自行驗證矩陣向量乘法滿足線性變換的可加性與均勻性：

$\displaystyle\begin{aligned} A(\mathbf{x}+\mathbf{y})&=A\mathbf{x}+A\mathbf{y}\\ A(\alpha\mathbf{x})&=\alpha(A\mathbf{x}).\end{aligned}$

繼續討論前，先看一個例子。考慮線性變換 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ ，如下：

$\displaystyle T(x_1,x_2)=(2x_1,x_2,x_1-3x_2)$ 。

算出 $T(1,0)=(2,0,1)$ ， $T(0,1)=(0,1,-3)$ ，故 $T$ 的標準矩陣為

$\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{cr} 2&0\\ 0&1\\ 1&-3 \end{array}\!\!\right]$ 。

另外，你也可以直接將 $T(x_1,x_2)$ 改寫成線性組合從而得到矩陣向量乘法表達式，

$\displaystyle T(x_1,x_2)=\begin{bmatrix} 2x_1\\ x_2\\ x_1-3x_2 \end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}+x_2\left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 1\\ -3 \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{cr} 2&0\\ 0&1\\ 1&-3 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}$ 。

給定 $\mathbf{x}=(2,3)$ ，以矩陣向量乘法計算 $T(\mathbf{x})$ ，可得

$\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{cr} 2&0\\ 0&1\\ 1&-3 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}+3\left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 1\\ -3 \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix} 4\\ 0\\ 2 \end{bmatrix}+\left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 3\\ -9 \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{r} 4\\ 3\\ -7 \end{array}\!\!\right]$ 。

矩陣加法

矩陣加法僅定義於相同大小的矩陣。考慮 $m\times n$ 階矩陣 $A=[a_{ij}]$ 和 $B=[b_{ij}]$ ，分別代表從 $\mathbb{F}^n$ 映射至 $\mathbb{F}^m$ 的線性變換 $T_1$ 與 $T_2$ 。我們定義 $A$ 與 $B$ 之和， $S=A+B$ ，若每一 $\mathbf{x}\in\mathbb{F}^n$ 皆使 $S\mathbf{x}=A\mathbf{x}+B\mathbf{x}$ ，即 $(A+B)\mathbf{x}=A\mathbf{x}+B\mathbf{x}$ 。欲求出 $S=[s_{ij}]$ ，將 $\mathbf{x}=\mathbf{e}_j$ ， $1\le j\le n$ ，代入 $S\mathbf{x}=A\mathbf{x}+B\mathbf{x}$ ，可得

$\displaystyle \begin{bmatrix} s_{1j}\\ s_{2j}\\ \vdots\\ s_{mj} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} b_{1j}\\ b_{2j}\\ \vdots\\ b_{mj} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{1j}+b_{1j}\\ a_{2j}+b_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj}+b_{mj} \end{bmatrix}$ 。

比較等號兩邊， $S=A+B$ 的元為

$\displaystyle s_{ij}=(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij},~~~\le i\le m, 1\le j\le n$ 。

考慮矩陣 $A$ 與 $0$ 的和，顯然 $A+0=A$ ，而且 $0$ 是唯一一個滿足 $A+B=A$ 的 $B$ 矩陣。對於任一矩陣 $A$ ，令矩陣 $-A$ 使得 $(-A)\mathbf{x}=-(A\mathbf{x})$ ，則有 $A+(-A)=0$ ，且 $-A$ 是唯一一個滿足 $A+B=0$ 的 $B$ 矩陣。假設 $A,B,C$ 為相同大小矩陣，向量加法滿足交換律與結合律， $A\mathbf{x}+B\mathbf{x}=B\mathbf{x}+A\mathbf{x}$ 且 $(A\mathbf{x}+B\mathbf{x})+C\mathbf{x}=A\mathbf{x}+(B\mathbf{x}+C\mathbf{x})$ 。因此，矩陣加法也滿足交換律與結合律：

$\begin{aligned} A+B&=B+A\\ (A+B)+C&=A+(B+C).\end{aligned}$

純量乘法

對於線性變換 $T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 的 $m\times n$ 階標準矩陣 $A$ 與純量 $\alpha\in\mathbb{F}$ ，我們定義 $\alpha$ 與 $A$ 之積， $M=\alpha A$ ，若每一 $\mathbf{x}\in\mathbb{F}^n$ 皆使 $M\mathbf{x}=\alpha(A\mathbf{x})$ ，即 $(\alpha A)\mathbf{x}=\alpha(A\mathbf{x})$ 。欲求出 $M=[m_{ij}]$ ，將 $\mathbf{x}=\mathbf{e}_j$ ， $1\le j\le n$ ，代入 $M\mathbf{x}=\alpha(A\mathbf{x})$ ，可得

$\displaystyle \begin{bmatrix} m_{1j}\\ m_{2j}\\ \vdots\\ m_{mj} \end{bmatrix}=\alpha\begin{bmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha a_{1j}\\ \alpha a_{2j}\\ \vdots\\ \alpha a_{mj} \end{bmatrix}$ ，

故 $M=\alpha A$ 的元為

$\displaystyle m_{ij}=(\alpha A)_{ij}=\alpha a_{ij},~~ 1\le i\le m, 1\le j\le n$ 。

對於任一矩陣 $A$ ， $1A=A$ 。對於 $\alpha,\beta\in\mathbb{F}$ ，純量乘法滿足結合律 $\alpha(\beta A)=(\alpha\beta)A$ 。設 $A,B$ 為相同大小矩陣，向量加法與純量乘法滿足分配律， $(\alpha+\beta)(A\mathbf{x})=\alpha(A\mathbf{x})+\beta(A\mathbf{x})$ 且 $\alpha(A\mathbf{x}+B\mathbf{x})=\alpha(A\mathbf{x})+\alpha(B\mathbf{x})$ 。因此，矩陣的分配律也成立：

$\begin{aligned} (\alpha+\beta)A&=\alpha A+\beta A\\ \alpha(A+B)&=\alpha A+\alpha B.\end{aligned}$

矩陣乘法

考慮兩個線性變換 $T:\mathbb{F}^p\to\mathbb{F}^n$ 和 $S:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ ，將它們串接在一起，圖示如下：

$\mathbf{x}\longrightarrow\boxed{~~{T}~~}\longrightarrow T(\mathbf{x})\longrightarrow\boxed{~~{S}~~}\longrightarrow S\left(T(\mathbf{x})\right)$

其中 $\mathbf{x}\in\mathbb{F}^p$ ， $T(\mathbf{x})\in\mathbb{F}^n$ ， $S\left(T(\mathbf{x})\right)\in\mathbb{F}^m$ 。我們以 $S\circ T$ 代表 $S$ 和 $T$ 的複合線性變換，即 $(S\circ T)(\mathbf{x})=S\left(T(\mathbf{x})\right)$ ，圖示為

$\mathbf{x}\longrightarrow\boxed{~~{S\circ T}~~}\longrightarrow S(T(\mathbf{x}))$

令 $n\times p$ 階矩陣 $B$ 為線性變換 $T$ 的標準矩陣且 $m\times n$ 階矩陣 $A$ 為線性變換 $S$ 的標準矩陣。複合線性變換 $S(T(\mathbf{x}))$ 可用矩陣向量乘法運算實現， $S(T(\mathbf{x}))=A(B\mathbf{x})$ 。明顯地，複合線性變換 $S\circ T$ 的標準矩陣由 $A$ 和 $B$ 決定。我們定義 $A$ 與 $B$ 之積， $P=AB$ ，若每一 $\mathbf{x}\in\mathbb{F}^p$ 皆使 $P\mathbf{x}=A(B\mathbf{x})$ ，即 $(AB)\mathbf{x}=A(B\mathbf{x})$ 。因此，複合線性變換 $S\circ T$ 的標準矩陣即為 $AB$ 。矩陣乘法的定義表明左右順序的重要性，我們先算出 $\mathbf{x}$ 的像 $B\mathbf{x}$ ，接著求得 $B\mathbf{x}$ 通過 $A$ 的像 $A(B\mathbf{x})$ 。因為這個緣故，即便當 $m=n=p$ ， $AB$ 不總是等於 $BA$ ，即矩陣乘法不具有交換律。

下面推導 $P=[p_{ij}]=AB$ 的計算公式。令 $B$ 的行向量為 $\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_p$ 。根據矩陣向量乘法定義，

$B\mathbf{x}=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{b}_p \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_p \end{bmatrix}=x_1\mathbf{b}_1+x_2\mathbf{b}_2+\cdots+x_p\mathbf{b}_p$ 。

使用可加性與均勻性，

$\begin{aligned} A(B\mathbf{x})&=A\left(x_1\mathbf{b}_1+x_2\mathbf{b}_2+\cdots+x_p\mathbf{b}_p\right)\\ &=A(x_1\mathbf{b}_1)+A(x_2\mathbf{b}_2)+\cdots+A(x_p\mathbf{b}_p)\\ &=x_1(A\mathbf{b}_1)+x_2(A\mathbf{b}_2)+\cdots+x_p(A\mathbf{b}_p)\\ &=\begin{bmatrix} A\mathbf{b}_1&A\mathbf{b}_2&\cdots&A\mathbf{b}_p \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_p \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} A\mathbf{b}_1&A\mathbf{b}_2&\cdots&A\mathbf{b}_p \end{bmatrix}\mathbf{x}.\end{aligned}$

令上式等於 $(AB)\mathbf{x}$ ，因為 $\mathbf{x}$ 是任一向量，故得

$AB=A\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{b}_p \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A\mathbf{b}_1&A\mathbf{b}_2&\cdots&A\mathbf{b}_p \end{bmatrix}$ ，

此即以「行」為運算單元的矩陣乘法 (見“矩陣乘法的現代觀點”)。注意， $AB$ 的第 $j$ 行， $A\mathbf{b}_j$ ，是 $A$ 的行向量 $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n$ 的線性組合，係數為 $\mathbf{b}_j$ 的元 $b_{1j},\ldots,b_{nj}$ 。因此，矩陣乘法 $AB$ 僅定義於 $A$ 的行向量數等於 $B$ 的列向量數 (即 $\mathbf{b}_j$ 的維數 $n$ )。使用上面 $AB$ 的計算公式可推得以「元」為運算單元的矩陣乘法公式：

$\displaystyle\begin{aligned} p_{ij}&=(AB)_{ij}=(A\mathbf{b}_j)_i=\left(b_{1j}\mathbf{a}_1+b_{2j}\mathbf{a}_2+\cdots+b_{nj}\mathbf{a}_n\right)_{i}\\ &=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}, \end{aligned}$

其中 $(A\mathbf{b}_j)_i$ 表示向量 $A\mathbf{b}_j$ 的第 $i$ 元。

矩陣乘法具備結合律與加法分配律：

$(AB)C=A(BC)$
$\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$ ， $\alpha\in\mathbb{F}$ 。
$A(B+C)=AB+AC$
$(A+B)C=AC+BC$

利用矩陣加法與乘法定義很容易證明這些等式。下面展示等式1與3的證明^[2]：

$\displaystyle \begin{aligned} (A(BC))\mathbf{x}&=A((BC)\mathbf{x})=A(B(C\mathbf{x}))\\ &=(AB)(C\mathbf{x})=((AB)C)\mathbf{x}, \end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} (A(B+C))\mathbf{x}&=A((B+C)\mathbf{x})=A(B\mathbf{x}+C\mathbf{x})\\ &=A(B\mathbf{x})+A(C\mathbf{x})=(AB)\mathbf{x}+(AC)\mathbf{x}\\ &=(AB+AC)\mathbf{x}.\end{aligned}$

因為 $\mathbf{x}$ 是任一向量，即證明所求。

最後討論矩陣乘法的一個簡單應用：在二維平面上，求出順時針旋轉 $45^\circ$ ，再放大X座標 $3$ 倍的幾何變換矩陣。第一個方法寫出線性變換的標準矩陣： $\displaystyle B=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&-1\\ 1&1 \end{array}\!\!\right]$ 是旋轉矩陣， $A=\begin{bmatrix} 3&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$ 是放大矩陣 (見“幾何變換矩陣的設計”)。自然地，我們會以「元」為運算單元的矩陣乘法公式 $(AB)_{ij}=\sum_{k}a_{ik}b_{kj}$ 計算複合變換矩陣

$\displaystyle AB=\begin{bmatrix} 3&0\\ 0&1 \end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&-1\\ 1&1 \end{array}\!\!\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{cr} 3&-3\\ 1&1 \end{array}\!\!\right]$ 。

第二個方法採用本文所述的矩陣乘法定義：對於任一 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^2$ ， $(AB)\mathbf{x}=A(B\mathbf{x})$ 。求出標準基底向量 $\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$ 的像，合併即得所求的變換矩陣： $\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$ 旋轉 $45^\circ$ 的像是 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ ，放大X座標 $3$ 倍，可得 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix}$ ； $\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$ 旋轉 $45^\circ$ 的像是 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{r} -1\\ 1 \end{array}\!\!\right]$ ，放大X座標 $3$ 倍，可得 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{r} -3\\ 1 \end{array}\!\!\right]$ 。因此，變換矩陣為 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{cr} 3&-3\\ 1&1 \end{array}\!\!\right]$ 。第一個方法是靜態的，兩個幾何變換矩陣擺在那裡靜止不動，算出它們的積便得到複合變換矩陣；第二個方法是動態的，雖然我們沒有明示的變換矩陣，但幾乎可以「看見」兩個標準基底向量的幾何變換過程，它們的像組成了複合變換矩陣。究竟那一個方法比較適合解釋給第一個在街上相遇的人聽？這是一個值得考慮的問題。

註解
[1] 英譯文是 “A mathematical theory is not to be considered complete until you have made it so clear that you can explain it to the first man whom you meet on the street.”
[2] 如果採用以「元」為運算單元的矩陣乘法公式，

$\displaystyle\begin{aligned} (A(BC))_{ij}&=\sum_ka_{ik}(BC)_{kj}=\sum_ka_{ik}\sum_{l}b_{kl}c_{lj}\\ &=\sum_l\left(\sum_ka_{ik}b_{kl}\right)c_{lj}=\sum_l(AB)_{il}c_{lj}\\ &=((AB)C)_{ij}, \end{aligned}$

$\displaystyle\begin{aligned} (A(B+C))_{ij}&=\sum_ka_{ik}(B+C)_{kj}=\sum_ka_{ik}(b_{kj}+c_{kj})\\ &=\sum_ka_{ik}b_{kj}+\sum_ka_{ik}c_{kj}=(AB)_{ij}+(AC)_{ij}\\ &=(AB+AC)_{ij}. \end{aligned}$

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