## 基本矩陣運算的定義

$\mathbf{x}\longrightarrow\boxed{~~{T}~~}\longrightarrow T(\mathbf{x})$

\begin{aligned} T(\mathbf{x}+\mathbf{y})&=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})\\ T(\alpha\mathbf{x})&=\alpha T(\mathbf{x}), \end{aligned}

$\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix}+\cdots+x_n\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1 \end{bmatrix}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\cdots+x_n\mathbf{e}_n$

\displaystyle \begin{aligned} T(\mathbf{x})&=T(x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\cdots+x_n\mathbf{e}_n)\\ &=T(x_1\mathbf{e}_1)+T(x_2\mathbf{e}_2)+\cdots+T(x_n\mathbf{e}_n)\\ &=x_1T(\mathbf{e}_1)+x_2T(\mathbf{e}_2)+\cdots+x_nT(\mathbf{e}_n). \end{aligned}

$T(\mathbf{e}_j)=\mathbf{a}_j=\begin{bmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{bmatrix},~~~j=1,\ldots,n$

$T(\mathbf{x})=x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n=x_1\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{m1} \end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{m2} \end{bmatrix}+\cdots+x_n\begin{bmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{mn} \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix}$

$A\mathbf{x}=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}=x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n$

1. $A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=A\mathbf{x}+A\mathbf{y}$
2. $A(\alpha\mathbf{x})=\alpha(A\mathbf{x})$

$\displaystyle T(x_1,x_2)=(2x_1,x_2,x_1-3x_2)$

$\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{cr} 2&0\\ 0&1\\ 1&-3 \end{array}\!\!\right]$

$\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{cr} 2&0\\ 0&1\\ 1&-3 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}+3\left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 1\\ -3 \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix} 4\\ 0\\ 2 \end{bmatrix}+\left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 3\\ -9 \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{r} 4\\ 3\\ -7 \end{array}\!\!\right]$

$\displaystyle \begin{bmatrix} s_{1j}\\ s_{2j}\\ \vdots\\ s_{mj} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} b_{1j}\\ b_{2j}\\ \vdots\\ b_{mj} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{1j}+b_{1j}\\ a_{2j}+b_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj}+b_{mj} \end{bmatrix}$

$\displaystyle s_{ij}=(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$$1\le i\le m$$1\le j\le n$

1. $A+B=B+A$
2. $(A+B)+C=A+(B+C)$

$\displaystyle \begin{bmatrix} m_{1j}\\ m_{2j}\\ \vdots\\ m_{mj} \end{bmatrix}=\alpha\begin{bmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha a_{1j}\\ \alpha a_{2j}\\ \vdots\\ \alpha a_{mj} \end{bmatrix}$

$M=\alpha A$ 的元為

$\displaystyle m_{ij}=(\alpha A)_{ij}=\alpha a_{ij}$$1\le i\le m$$1\le j\le n$

1. $(\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A$
2. $\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B$

$\mathbf{x}\longrightarrow\boxed{~~{T}~~}\longrightarrow T(\mathbf{x})\longrightarrow\boxed{~~{S}~~}\longrightarrow S\left(T(\mathbf{x})\right)$

$\mathbf{x}\longrightarrow\boxed{~~{S\circ T}~~}\longrightarrow S(T(\mathbf{x}))$

$n\times p$ 階矩陣 $B$ 為線性變換 $T$ 的標準矩陣且 $m\times n$ 階矩陣 $A$ 為線性變換 $S$ 的標準矩陣。複合線性變換 $S(T(\mathbf{x}))$ 可用矩陣向量乘法運算實現，$S(T(\mathbf{x}))=A(B\mathbf{x})$。明顯地，複合線性變換 $S\circ T$ 的標準矩陣由 $A$$B$ 決定。我們定義 $A$$B$ 之積，$P=AB$，若每一 $\mathbf{x}\in\mathbb{F}^p$ 皆使 $P\mathbf{x}=A(B\mathbf{x})$，即 $(AB)\mathbf{x}=A(B\mathbf{x})$。因此，複合線性變換 $S\circ T$ 的標準矩陣即為 $AB$。矩陣乘法的定義表明左右順序的重要性，我們先算出 $\mathbf{x}$ 的像 $B\mathbf{x}$，接著求得 $B\mathbf{x}$ 通過 $A$ 而得的像 $A(B\mathbf{x})$。因為這個緣故，即便當 $m=n=p$$AB$ 不總是等於 $BA$，即矩陣乘法不具有交換律。

$B\mathbf{x}=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{b}_p \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_p \end{bmatrix}=x_1\mathbf{b}_1+x_2\mathbf{b}_2+\cdots+x_p\mathbf{b}_p$

\begin{aligned} A(B\mathbf{x})&=A\left(x_1\mathbf{b}_1+x_2\mathbf{b}_2+\cdots+x_p\mathbf{b}_p\right)\\ &=A(x_1\mathbf{b}_1)+A(x_2\mathbf{b}_2)+\cdots+A(x_p\mathbf{b}_p)\\ &=x_1(A\mathbf{b}_1)+x_2(A\mathbf{b}_2)+\cdots+x_p(A\mathbf{b}_p)\\ &=\begin{bmatrix} A\mathbf{b}_1&A\mathbf{b}_2&\cdots&A\mathbf{b}_p \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_p \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} A\mathbf{b}_1&A\mathbf{b}_2&\cdots&A\mathbf{b}_p \end{bmatrix}\mathbf{x}.\end{aligned}

$AB=A\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{b}_p \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A\mathbf{b}_1&A\mathbf{b}_2&\cdots&A\mathbf{b}_p \end{bmatrix}$

\displaystyle\begin{aligned} p_{ij}&=(AB)_{ij}=(A\mathbf{b}_j)_i=\left(b_{1j}\mathbf{a}_1+b_{2j}\mathbf{a}_2+\cdots+b_{nj}\mathbf{a}_n\right)_{i}\\ &=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}, \end{aligned}

1. $(AB)C=A(BC)$
2. $\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$$\alpha\in\mathbb{F}$
3. $A(B+C)=AB+AC$
4. $(A+B)C=AC+BC$

\displaystyle \begin{aligned} (A(BC))\mathbf{x}&=A((BC)\mathbf{x})=A(B(C\mathbf{x}))\\ &=(AB)(C\mathbf{x})=((AB)C)\mathbf{x}, \end{aligned}

\displaystyle \begin{aligned} (A(B+C))\mathbf{x}&=A((B+C)\mathbf{x})=A(B\mathbf{x}+C\mathbf{x})\\ &=A(B\mathbf{x})+A(C\mathbf{x})=(AB)\mathbf{x}+(AC)\mathbf{x}\\ &=(AB+AC)\mathbf{x}.\end{aligned}

$\displaystyle AB=\begin{bmatrix} 3&0\\ 0&1 \end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&-1\\ 1&1 \end{array}\!\!\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{cr} 3&-3\\ 1&1 \end{array}\!\!\right]$

[1] 英譯文是 “A mathematical theory is not to be considered complete until you have made it so clear that you can explain it to the first man whom you meet on the street.”
[2] 如果採用以「元」為運算單元的矩陣乘法公式，

\displaystyle\begin{aligned} (A(BC))_{ij}&=\sum_ka_{ik}(BC)_{kj}=\sum_ka_{ik}\sum_{l}b_{kl}c_{lj}\\ &=\sum_l\left(\sum_ka_{ik}b_{kl}\right)c_{lj}=\sum_l(AB)_{il}c_{lj}\\ &=((AB)C)_{ij}, \end{aligned}

\displaystyle\begin{aligned} (A(B+C))_{ij}&=\sum_ka_{ik}(B+C)_{kj}=\sum_ka_{ik}(b_{kj}+c_{kj})\\ &=\sum_ka_{ik}b_{kj}+\sum_ka_{ik}c_{kj}=(AB)_{ij}+(AC)_{ij}\\ &=(AB+AC)_{ij}. \end{aligned}

This entry was posted in 線性變換, 線性代數專欄 and tagged , , . Bookmark the permalink.