每週問題 August 3, 2015

這是判定可逆矩陣的問題。

Let A be an n\times n matrix. If AB\neq 0 for any n\times n nonzero matrix B, show that A is nonsingular.

 
參考解答:

證明1. 令 \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) 代表 n\times n 階複矩陣形成的向量空間。考慮線性變換 T:\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\to\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) 定義為 T(B)=AB,其中 A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})。因為不存在非零矩陣 B 使得 T(B)=0,可知 \ker(T)=\{0\},表明 T 是一對一 (或單射)。根據秩─零度定理,

\displaystyle \text{rank}T=\dim\mathcal{M}_n(\mathbb{C})-\dim\ker(T)=n^2-0=n^2

即知 T 是滿射。因此,存在唯一的 B 使得 T(B)=AB=I,證明 A 是一個可逆矩陣。

證明2. 使用逆否命題法。假設 A 是一個不可逆矩陣 (奇異矩陣),則存在非零向量 \mathbf{x} 使得 A\mathbf{x}=\mathbf{0}。令 B=\mathbf{x}\mathbf{y}^T,其中 \mathbf{y}\neq\mathbf{0}。因此,非零矩陣 B 使得 AB=A\mathbf{x}\mathbf{y}^T=0,證畢。

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7 則回應給 每週問題 August 3, 2015

  1. Meiyue Shao 說道:

    我再给一种方法,应该有一定的参考价值:
    A 奇异,则存在非零向量 x 使得 Ax=0,取 B=xx^T 得矛盾。

    从这个做法里还可以看到,把条件削弱成
    AB\neq0 对任何秩一矩阵 B 成立”
    或者
    AB\neq0 对任何对称矩阵 B 成立”
    或者
    AB\neq0 对任何反对称矩阵 B 成立(要求 n>1)”
    时依然可以得到相同的结论(对于反对称矩阵可以取 B=xy^T-yx^T,其中 yx 线性无关)。

  2. jxux439 說道:

    周老師您好,證明1裡面的 rank(T) 是不是應該是n 而非n^2 ?

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