每週問題 August 10, 2015

A,B 是非零矩陣,AB=0 可推論出甚麼結果?

Let A and B be n\times n nonzero matrices. If AB=0, show that A and B are singular.

 
參考解答:

證明1. 使用反證法。假設 AB 至少有一個是可逆矩陣 (非奇異矩陣)。若 A 可逆,則 B=A^{-1}AB=A^{-1}0=0;若 B 可逆,則 A=ABB^{-1}=0B^{-1}=0。這兩種情況皆與命題的前提矛盾,故得證。

證明2. 使用零空間。將 B 矩陣以行向量 (column vector) 表示為 B=\begin{bmatrix}  \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_n  \end{bmatrix},則

\displaystyle  AB=A\begin{bmatrix}  \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_n  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A\mathbf{b}_1&\cdots&A\mathbf{b}_n  \end{bmatrix}=0

A\mathbf{b}_j=\mathbf{0}j=1,\ldots,n。上式說明每一 \mathbf{b}_j\in N(A),其中 N(A) 表示 A 的零空間。因為 B\neq 0,至少存在一個非零向量 \mathbf{b}_j,推得 N(A)\neq\{\mathbf{0}\},即知 A 不可逆。同樣道理,因為 A\neq 0,由 B^TA^T=(AB)^T=0 可得 N(B^T)\neq\{\mathbf{0}\},即 B^T 不可逆,等價於 B 不可逆。

證明3. 使用矩陣秩。令 C(B) 表示 B 的行空間 (column space)。若 AB=0,則 C(B)\subseteq N(A),推得 \text{rank}B\le \dim N(A)。秩─零度定理說 \text{rank}A+\dim N(A)=n,故

\text{rank}A+\text{rank}B\le\text{rank}A+\dim N(A)=n

因為 A\neq 0,可知 \text{rank}A>0,故 \text{rank}B<n,即 B 不可逆。同樣道理,B\neq 0 推得 \text{rank}A<n,即 A 不可逆。

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4 則回應給 每週問題 August 10, 2015

  1. Aryido 說:

    這個網站真的讓我獲益良多
    看了一段時間 對我這數學系的學生有莫大幫助 希望能持續更新

  2. Peter Chan 說:

    有參考價值

  3. qzhoo7 說:

    学习线性代数已经是两年前的事情了,看到老师的这篇文章又让我想起来当年摆弄矩阵的快感。可惜好多定理都忘了,只怪当时浅尝辙止。

  4. ccjou 說:

    謝謝各位的鼓勵。幾年前我曾經回覆:每每當我快撐不住時,想起許多讀者的支持,才又打起精神沖杯咖啡,繼續寫下去。

    等一下去便利超商買杯咖啡。

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