旋轉與鏡射

本文的閱讀等級:中級

A 為一個 n\times n 階實矩陣。若 A^TA=AA^T=I,即 A^T=A^{-1},我們稱 A 為正交矩陣 (orthogonal matrix) 。令 \mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n 為正交矩陣 A 的行向量 (column vector),A=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n  \end{bmatrix}。因此,(A^TA)_{ij}=\mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=(I)_{ij},即 \mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=1i=j\mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=0i\neq j。正交矩陣的行向量組成一個單範正交集 (orthonormal set)。因為 A 是實矩陣,A^\ast=A^T,正交矩陣是一種特殊的么正 (unitary) 矩陣,其界定條件為 A^\ast A=AA^\ast=I。正交矩陣繼承么正矩陣的性質,正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (證明見“等距同構與么正矩陣”):

  1. 對於任意 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n(A\mathbf{x})^T(A\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{y}
  2. 對於任一 \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\Vert A\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert
  3. 對於任意 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n\Vert A\mathbf{x}-A\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert

本文討論兩種主要的正交矩陣:旋轉與鏡射,並解說兩者的相互表達。為便利說明,我們將使用下列預備知識。假設 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\mathbf{x}\neq\mathbf{0}。使用性質2,\Vert \mathbf{x}\Vert=\Vert A\mathbf{x}\Vert=\Vert\lambda\mathbf{x}\Vert=\vert\lambda\vert \Vert\mathbf{x}\Vert,即得 \vert\lambda\vert=1,故正交矩陣的特徵值的絕對值等於 1。正交矩陣歸屬正規 (normal) 矩陣,即 A^\ast A=AA^\ast,因此擁有完整的 n 個單範正交特徵向量 (見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”)。若 AB 是同大小的正交矩陣,則 (AB)^T(AB)=B^TA^TAB=B^TB=I,得知 AB 也是正交矩陣。

 
旋轉

對於任一正交矩陣 A(\det A)^2=(\det A^T)(\det A)=\det(A^TA)=\det I=1,因此 \det A=\pm 1。若 \det A=1A 稱為適當的 (proper) 正交矩陣或旋轉矩陣。若 \det A=-1A 稱為不適當的正交矩陣。當 n=2,逆時針方向旋轉 \theta 徑度的旋轉矩陣為

\displaystyle  R(\theta)=\left[\!\!\begin{array}{cr}  \cos\theta&-\sin\theta\\  \sin\theta&\cos\theta  \end{array}\!\!\right]

明顯地,R(\theta)^T=R(-\theta)=R^{-1}(\theta)\det R(\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1,且 R(\theta) 的特徵值為 \cos\theta\pm i\sin\theta,其中 i=\sqrt{-1}

 
鏡射

\mathcal{U}\mathbb{R}^n 的一個子空間,且 P 是值域為 \mathcal{U}^\perp 的正交投影矩陣,滿足 P^2=P=P^T (見“正交投影矩陣的性質與界定”,定理一)。給定 \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n,寫出 \mathbf{x}=P\mathbf{x}+(I-P)\mathbf{x},其中 P\mathbf{x}\in\mathcal{U}^\perp(I-P)\mathbf{x}\in\mathcal{U},因為 \displaystyle  (P\mathbf{x})^T(I-P)\mathbf{x}=\mathbf{x}^TP^T(I-P)\mathbf{x}=\mathbf{x}^T(P-P^2)\mathbf{x}=0。見圖一,令 S\mathbf{x}=P\mathbf{x}+(P-I)\mathbf{x}=(2P-I)\mathbf{x}。對於子空間 \mathcal{U}^\perp,我們稱 S\mathbf{x} 是點 \mathbf{x} 的鏡射點,鏡射矩陣為

\displaystyle  S=2P-I

考慮 n=2 的情況。若 \mathcal{U}^\perp=\{\mathbf{0}\},正交投影矩陣為 P_1=0,對於原點的鏡射矩陣則為 S_1=-I_2。若 \mathcal{U}^\perp=L 為一穿越原點的直線,稱為鏡射軸,設 L 與正 X 軸的夾角為 \phi (以下夾角皆為逆時針轉角)。令 \mathbf{v}=\begin{bmatrix}  \cos\phi\\  \sin\phi  \end{bmatrix} 代表鏡射軸 L 的指向向量,即 L=\text{span}\{\mathbf{v}\}。寫出映至直線 L 的正交投影矩陣 P_2=\mathbf{v}\mathbf{v}^T/\mathbf{v}^T\mathbf{v}=\mathbf{v}\mathbf{v}^T (見“正交投影──威力強大的線代工具”),對於鏡射軸 L 的鏡射矩陣為

\displaystyle\begin{aligned}  S_2&=2\mathbf{v}\mathbf{v}^T-I\\  &=\begin{bmatrix}  2\cos^2\phi-1&2\cos\phi\sin\phi\\  2\sin\phi\cos\phi&2\sin^2\phi-1  \end{bmatrix}\\  &=\left[\!\!\begin{array}{cr}  \cos 2\phi&\sin 2\phi\\  \sin 2\phi &-\cos 2\phi  \end{array}\!\!\right],  \end{aligned}

最後一個等式使用了倍角公式。若 \mathcal{U}^\perp=\mathbb{R}^2,則 P_3=I_2,對於整個平面的鏡射矩陣即為單位矩陣,S_3=I_2。計算行列式,可得 \det S_1=1\det S_2=-1\det S_3=1,因此 -I_2I_2 是鏡射矩陣,也是旋轉矩陣 (但 -I_3 並非旋轉矩陣,因為 \det(-I_3)=-1)。

Reflection

圖一 對於一子空間的鏡射

 
鏡射矩陣具有下列性質:

  1. 鏡射矩陣是對稱、正交且對合 (involutory) 矩陣。直接計算即可證明:

    S^T=(2P-I)^T=2P^T-I=2P-I=S

    S^TS=(2P-I)^T(2P-I)=(2P-I)(2P-I)=4P^2-2P-2P+I=I

    S^2=S^TS=I

  2. 對於子空間 \mathcal{U}^\perp,鏡射矩陣 S 的特徵值為 1 (重數是 \dim\mathcal{U}^\perp) 和 -1 (重數是 \dim\mathcal{U}),故 \det S=\pm 1。證明於下:令 k=\dim\mathcal{U}\{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_k\}\mathcal{U} 的一組單範正交基底,且 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_{n-k}\}\mathcal{U}^\perp 的一組單範正交基底。對於映至 \mathcal{U}^\perp 的正交投影矩陣 P,我們有 P\mathbf{u}_i=\mathbf{0}1\le i\le k,且 P\mathbf{v}_j=\mathbf{v}_j1\le j\le n-k。使用這些等式,可得 S\mathbf{u}_i=(2P-I)\mathbf{u}_i=-\mathbf{u}_iS\mathbf{v}_j=(2P-I)\mathbf{v}_j=\mathbf{v}_j
  3. S 是對於 \mathcal{U}^\perp 的鏡射矩陣,T 是對於 \mathcal{U} 的鏡射矩陣,則 ST=TS=-I。證明於下:若 P 是映至 \mathcal{U}^\perp 的正交投影矩陣,則 I-P 是映至 \mathcal{U} 的正交投影矩陣。使用性質1,ST=(2P-I)(2(I-P)-I)=(2P-I)(I-2P)=-S^2=-I,同樣地,TS=-I

 
Householder 矩陣

\mathbb{R}^n,若 \mathcal{U}=\text{span}\{\mathbf{u}\}\Vert\mathbf{u}\Vert=1,設 H 為對於穿越原點的超平面 \mathcal{U}^\perp 的鏡射矩陣 (維數等於 n-1 的子空間稱為超平面)。因為 \mathbf{u}\mathbf{u}^T 是映至 \mathcal{U} 的正交投影矩陣,可知 P=I-\mathbf{u}\mathbf{u}^T 是映至 \mathcal{U}^\perp 的正交投影矩陣,故 H=2P-I=2(I-\mathbf{u}\mathbf{u}^T)-I=I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^T。給定一超平面的單位法向量 \mathbf{u} (或 -\mathbf{u}),對於此超平面的鏡射矩陣稱為 Householder 矩陣 (見“特殊矩陣 (4):Householder 矩陣”),

\displaystyle  H=I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^T

根據鏡射矩陣性質2,n\times n 階 Householder 矩陣 H 有一特徵值 -1,對應特徵向量 \mathbf{u},以及 (n-1) 個相重特徵值 1,對應特徵空間 \text{span}\{\mathbf{u}\}^\perp,故 \det H=-1。換句話說,Householder 矩陣是不適當的正交矩陣。上例,平面上對於鏡射軸 L 的鏡射矩陣 S_2 即為 Householder 矩陣。在數值線性代數,Householder 矩陣是一個應用廣泛的矩陣,原因在於它具備定理一所述的性質。

 
定理一:對於任意非零向量 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n\Vert\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{y}\Vert,存在一 Householder 矩陣 H 使得 H\mathbf{x}=\mathbf{y}。若 \mathbf{x}\neq\mathbf{y},則 H 唯一存在。

如果 \mathbf{x}=\mathbf{y},則任何一個包含 \mathbf{x} 的超平面所對應的 Householder 矩陣即符合所求。若 \mathbf{x}\neq\mathbf{y},考慮單位法向量為 (\mathbf{x}-\mathbf{y})/\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert 的超平面,對應的 Householder 矩陣為

\displaystyle  H=I-2\frac{(\mathbf{x-y})(\mathbf{x}-\mathbf{y})^T}{\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2}

因為 \Vert\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{y}\Vert,可得 \Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2=\Vert\mathbf{x}\Vert^2+\Vert\mathbf{y}\Vert^2-2\mathbf{x}^T\mathbf{y}=2(\Vert\mathbf{x}\Vert^2-\mathbf{x}^T\mathbf{y})。計算鏡射像,

\displaystyle  \begin{aligned}  H\mathbf{x}&=\left(I-2\frac{(\mathbf{x-y})(\mathbf{x}-\mathbf{y})^T}{\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2}\right)\mathbf{x}\\  &=\mathbf{x}-2\frac{\mathbf{x}^T(\mathbf{x}-\mathbf{y})}{\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\\  &=\mathbf{x}-2\frac{\Vert\mathbf{x}\Vert^2-\mathbf{x}^T\mathbf{y}}{\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\\  &=\mathbf{x}-(\mathbf{x}-\mathbf{y})\\  &=\mathbf{y}.  \end{aligned}

 
定理二,稱為 Cartan–Dieudonné 定理,提供了聯繫旋轉矩陣與鏡射 (Householder) 矩陣的理論基礎。

定理二:任一 n\times n 階,n\ge 2,正交矩陣 A 可表示為

A=H_1H_2\cdots H_k

其中 H_1,\ldots,H_k 是 Householder 矩陣,k\le n

我們採行 Householder 矩陣應用於 QR 分解的證明方法 (見“Householder 變換於 QR 分解的應用”)。將 n\times n 階正交矩陣 A 以行向量表示,A=\begin{bmatrix}    \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n    \end{bmatrix},其中每一 \mathbf{a}_j\neq\mathbf{0}。使用定理一,設 \mathbf{x}=\mathbf{a}_1\mathbf{y}=\Vert\mathbf{a}_1\Vert\mathbf{e}_1,其中 \mathbf{e}_1=(1,0,\ldots,0)^T。若 \mathbf{x}=\mathbf{y},不需執行任何運算,否則令 \mathbf{u}_1=\displaystyle\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert},Householder 矩陣 H_1=I-2\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^T 可使

H_1\mathbf{a}_1=\Vert\mathbf{a}_1\Vert\mathbf{e}_1

換句話說,左乘 H_1 可完全消滅 A(1,1) 以下所有元:

\begin{aligned}  H_1A&=H_1\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\cdots&\mathbf{a}_n    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    H_1\mathbf{a}_1&H_1\mathbf{a}_2&\cdots&H_1\mathbf{a}_n    \end{bmatrix}\\    &=\begin{bmatrix}    r_{11}&r_{12}&\cdots&r_{1n}\\    0&\ast&\cdots&\ast\\    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\    0&\ast&\cdots&\ast    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    r_{11}&\ast\\    \mathbf{0}&A_2    \end{bmatrix},\end{aligned}

其中 r_{11}=\Vert\mathbf{a}_1\Vert>0A_2 為右下 (n-1)\times(n-1) 階分塊。繼續對分塊 A_2 按同樣方式執行化簡,如果需要,設計一 (n-1)\times(n-1) 階 Householder 矩陣 \hat{H}_2 以消滅 A_2 分塊的 (1,1) 以下所有元。令 H_2=\begin{bmatrix}    1&\mathbf{0}\\    \mathbf{0}&\hat{H}_2    \end{bmatrix}。請讀者自行驗證 H_2 是 Householder 矩陣 (代入 \hat{H}_2=I_{n-1}-2\mathbf{u}_2\mathbf{u}_2^T)。左乘 H_2 可消滅 H_1A(2,2) 以下所有元:

\begin{aligned}  H_2H_1A&=\begin{bmatrix}  r_{11}&\ast \\    \mathbf{0}&\hat{H}_2A_2    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    r_{11}&r_{12}&r_{13}&\cdots&r_{1n}\\    0&r_{22}&r_{23}&\cdots&r_{2n}\\    0&0&\ast&\cdots&\ast\\    \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\    0&0&\ast&\cdots&\ast    \end{bmatrix}\end{aligned}

其中 r_{22}>0。重複上述步驟,左乘 k\le n 個 Householder 矩陣 H_1,\ldots,H_k 可得

\displaystyle  H_k\cdots H_2H_1A=R

其中 R 是一上三角矩陣且每一主對角元為正數 (因為 \text{rank}R=\text{rank}AR 的主對角元必不為零)。正交矩陣的乘積也是一正交矩陣,故 R 是正交矩陣,R^T=R^{-1}。但 R^T 是下三角矩陣,R^{-1} 是上三角矩陣,因此 R 是對角正交矩陣,推得 R=I。所以,A=(H_k\cdots H_2H_1)^{-1}=H_1^{-1}H_2^{-1}\cdots H_k^{-1}=H_1H_2\cdots H_k

 
兩個 Householder 矩陣乘積的旋轉矩陣表達

對於任一旋轉矩陣 R 與 Householder 矩陣 H\det R=1\det H=-1。當 n\ge 2,任兩個 Householder 矩陣的積的行列式等於 1,故為旋轉矩陣。若 n=2,定理二表明任一正交矩陣必定是對於一穿越原點直線的鏡射 (Householder) 矩陣,或是一旋轉矩陣表示為對於二穿越原點直線的鏡射矩陣的積。下面推導平面上任兩個 Householder 矩陣的積的旋轉矩陣表達式 (另一個採用三角學的推導見“答王jiun──關於平面上的鏡射問題”)。設鏡射軸 L 的指向向量為 \mathbf{v}=\begin{bmatrix}  \cos\phi\\  \sin\phi  \end{bmatrix},法向量則為 \mathbf{u}=\left[\!\!\begin{array}{r}  -\sin\phi\\  \cos\phi  \end{array}\!\!\right]。代入 Householder 矩陣並使用倍角公式,可得 (同上例 S_2)

\displaystyle  H=\left[\!\!\begin{array}{cr}  \cos 2\phi&\sin 2\phi\\  \sin 2\phi&-\cos 2\phi  \end{array}\!\!\right]

因為 H\mathbf{v}=\mathbf{v}H\mathbf{u}=-\mathbf{u},且 \{\mathbf{v},\mathbf{u}\} 為一組單範正交集,H 可正交對角化:

\displaystyle\begin{aligned}  H&=\begin{bmatrix}  \mathbf{v}&\mathbf{u}  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&0\\  0&-1  \end{array}\!\!\right]  \begin{bmatrix}  \mathbf{v}&\mathbf{u}  \end{bmatrix}^T\\  &=\left[\!\!\begin{array}{cr}  \cos\phi&-\sin\phi\\  \sin\phi&\cos\phi  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&0\\  0&-1  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{rc}  \cos\phi&\sin\phi\\  -\sin\phi&\cos\phi  \end{array}\!\!\right]\\  &=R(\phi)H_yR(-\phi),  \end{aligned}

其中 R(\phi) 是轉角為 \phi 的旋轉矩陣,H_y=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&0\\  0&-1  \end{array}\!\!\right] 是以 Y 軸為鏡射軸的法向量方向的鏡射矩陣。因為 R(\phi)H_y 是對稱矩陣,

\displaystyle  R(\phi)H_y=(R(\phi)H_y)^T=H_y^TR(\phi)^T=H_yR(-\phi)

二階 Householder 矩陣 H 可表示為

\displaystyle  H=R(\phi)H_yR(-\phi)=R(\phi)R(\phi)H_y=R(2\phi)H_y

\displaystyle  H=R(\phi)H_yR(-\phi)=H_yR(-\phi)R(-\phi)=H_yR(-2\phi)

考慮 Householder 矩陣 H_1=R(\phi_1)H_yR(-\phi_1)H_2=R(\phi_2)H_yR(-\phi_2)。使用上述表達式,可得

\displaystyle\begin{aligned}  H_2H_1&=R(\phi_2)H_yR(-\phi_2)R(\phi_1)H_yR(-\phi_1)\\  &=R(2\phi_2)H_yH_yR(-2\phi_1)\\  &=R(2\phi_2)R(-2\phi_1)\\  &=R(2(\phi_2-\phi_1)).  \end{aligned}

所以,平面上兩個 Householder 矩陣相乘合成旋轉矩陣,轉角等於兩鏡射軸夾角的 2 倍。見圖二,設 \alpha=\phi_2-\phi_1 表示鏡射軸 L_1L_2 的夾角, \beta 表示 H_1\mathbf{x} (或 H_2H_1\mathbf{x}) 與鏡射軸 L_2 的夾角。因此,H_1\mathbf{x} (或 \mathbf{x}) 與鏡射軸 L_1 的夾角為 \alpha-\beta,也就推得 \mathbf{x}H_2H_1\mathbf{x} 的夾角等於 (\alpha-\beta)+\alpha+\beta=2\alpha

Two Reflections

圖二 平面上兩個鏡射等同一旋轉

 
n=3,任一旋轉矩陣可表示為對於兩個穿越原點的平面的鏡射 (Householder) 矩陣的積。下面推導 \mathbb{R}^3 中任兩個 Householder 矩陣的積的旋轉矩陣表達式。令 \mathbf{u}\mathbf{v}\mathbb{R}^3 的單位向量,且 H_1=I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^TH_2=I-2\mathbf{v}\mathbf{v}^T。若 \mathbf{u}=\pm\mathbf{v},則 H_1H_2=H_1^2=I,單位矩陣 I 即為轉角等於 0 的旋轉矩陣。假設 \mathbf{u}\mathbf{v} 不共線。設 \mathbf{u}\mathbf{v} 的夾角為 \phi,則 \mathbf{u}^T\mathbf{v}=\cos\phi\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\sin\phi\mathbf{w},其中 \sin\phi\neq 0\Vert\mathbf{w}\Vert=1\times 表示向量外積 (或稱向量積,cross product)。考慮羅德里格旋轉公式 (Rodrigues’ rotation formula,見“三維空間的旋轉矩陣”)

\displaystyle  R_\mathbf{w}(\theta)=\cos\theta I+(1-\cos\theta)\mathbf{w}\mathbf{w}^T+\sin\theta \begin{bmatrix} \mathbf{w} \end{bmatrix}_{\times}

其中 \mathbf{w} 是單位轉軸向量,\theta 是轉角,

\displaystyle  \begin{bmatrix} \mathbf{w} \end{bmatrix}_{\times}=\left[\!\!\begin{array}{rrr}  0&-w_3&w_2\\  w_3&0&-w_1\\  -w_2&w_1&0 \end{array}\!\!\right]

稱為「外積矩陣」,因為 \begin{bmatrix}  \mathbf{w} \end{bmatrix}_{\times}\mathbf{x}=\mathbf{w}\times\mathbf{x}。我們可以證明下式成立:

\displaystyle  H_2H_1=R_{\mathbf{w}}(2\phi)

對於任一 \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3

\displaystyle\begin{aligned}  H_2H_1\mathbf{x}&=(I-2\mathbf{v}\mathbf{v}^T)(I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\mathbf{x}\\  &=(I-2\mathbf{v}\mathbf{v}^T)(\mathbf{x}-2(\mathbf{u}^T\mathbf{x})\mathbf{u})\\  &=\mathbf{x}-2(\mathbf{u}^T\mathbf{x})\mathbf{u}-2(\mathbf{v}^T\mathbf{x})\mathbf{v}+4\cos\phi(\mathbf{u}^T\mathbf{x})\mathbf{v}  \end{aligned}

\displaystyle\begin{aligned}  R_\mathbf{w}(2\phi)\mathbf{x}&=\left(\cos 2\phi I+(1-\cos 2\phi)\mathbf{w}\mathbf{w}^T+\sin 2\phi \begin{bmatrix} \mathbf{w} \end{bmatrix}_{\times}\right)\mathbf{x}\\  &=\cos 2\phi \mathbf{x}+(1-\cos 2\phi)(\mathbf{w}^T\mathbf{x})\mathbf{w}+\sin 2\phi\mathbf{w}\times \mathbf{x}\\  &=(2\cos^2\phi-1)\mathbf{x}+2\sin^2\phi(\mathbf{w}^T\mathbf{x})\mathbf{w}+2\sin\phi\cos\phi\mathbf{w}\times \mathbf{x}.  \end{aligned}

因為 \{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\} 是一線性獨立集,寫出唯一組合式 \mathbf{x}=\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}+\gamma\mathbf{w}。計算可得

\displaystyle  \begin{aligned}  \mathbf{u}^T\mathbf{x}&=\alpha+\beta\cos\phi\\  \mathbf{v}^T\mathbf{x}&=\alpha\cos\phi+\beta\\  \mathbf{w}^T\mathbf{x}&=\gamma\\  \mathbf{w}\times\mathbf{x}&=\frac{1}{\sin\phi}(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times\mathbf{x}=\frac{1}{\sin\phi}\left((\mathbf{u}^T\mathbf{x})\mathbf{v}-(\mathbf{v}^T\mathbf{x})\mathbf{u}\right)\\  &=\frac{1}{\sin\phi}\left((\alpha+\beta\cos\phi)\mathbf{v}-(\alpha\cos\phi+\beta)\mathbf{u}\right).  \end{aligned}

使用上面等式,

\displaystyle  \begin{aligned}  H_2H_1\mathbf{x}-R_{\mathbf{w}}(2\phi)\mathbf{x}&=\mathbf{x}-2(\alpha+\beta\cos\phi)\mathbf{u}-2(\alpha\cos\phi+\beta)\mathbf{v}+4\cos\phi(\alpha+\beta\cos\phi)\mathbf{v}\\  &~~-\left((2\cos^2\phi-1)\mathbf{x}+2\gamma\sin^2\phi\mathbf{w}+2\cos\phi((\alpha+\beta\cos\phi)\mathbf{v}-(\alpha\cos\phi+\beta)\mathbf{u})\right)\\  &=(2-2\cos^2\phi)\mathbf{x}-2(\alpha+\beta\cos\phi-\alpha\cos^2\phi-\beta\cos\phi)\mathbf{u}\\  &~~-2(\alpha\cos\phi+\beta-2\alpha\cos\phi-2\beta\cos^2\phi+\alpha\cos\phi+\beta\cos^2\phi)\mathbf{v}-2\gamma\sin^2\phi\mathbf{w}\\  &=2\sin^2\phi(\mathbf{x}-\alpha\mathbf{u}-\beta\mathbf{v}-\gamma\mathbf{w})=\mathbf{0}.  \end{aligned}

 
n=2,若 \phi 表示二鏡射軸的法向量的夾角 (即二鏡射軸的夾角),H_2H_1=R(2\phi) 說明 H_2H_1 的特徵值為 \cos 2\phi\pm i\sin 2\phi。當 n=3,若 \phi 表示二鏡射面的法向量的夾角,H_2H_1=R_{\mathbf{w}}(2\phi) 說明 H_2H_1 的特徵值為 \cos 2\phi\pm i\sin 2\phi1 (因為 R_{\mathbf{w}}(2\phi)\mathbf{w}=\mathbf{w})。推廣至 n\ge 2,兩個 Householder 矩陣之積等於一個旋轉矩陣,特徵值為 \cos 2\phi\pm i\sin 2\phi(n-2)1,其中 \phi 是兩鏡射超平面的法向量的夾角 (見“Householder 矩陣乘積的特徵值”)。

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