旋轉與鏡射

本文的閱讀等級：中級

令 $A$ 為一個 $n\times n$ 階實矩陣。若 $A^TA=AA^T=I$ ，則 $A^T=A^{-1}$ ，我們稱 $A$ 為正交矩陣 (orthogonal matrix) 。令 $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n$ 為正交矩陣 $A$ 的行向量 (column vector)，即 $A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}$ 。因此， $(A^TA)_{ij}=\mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=(I)_{ij}$ ，即 $\mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=1$ 若 $i=j$ ， $\mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=0$ 若 $i\neq j$ 。正交矩陣的行向量組成一個單範正交集 (orthonormal set)。因為 $A$ 是實矩陣， $A^\ast=A^T$ ，正交矩陣是一種特殊的么正 (unitary) 矩陣，其界定條件為 $A^\ast A=AA^\ast=I$ 。正交矩陣繼承么正矩陣的性質，正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (證明見“等距同構與么正矩陣”)：

對於任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$ ， $(A\mathbf{x})^T(A\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{y}$ 。
對於任一 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ ， $\Vert A\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$ 。
對於任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$ ， $\Vert A\mathbf{x}-A\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert$ 。

本文討論兩種主要的正交矩陣：旋轉與鏡射，並解說兩者的相互表達。為便利說明，我們將使用下列預備知識。假設 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ ， $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ 。使用性質2， $\Vert \mathbf{x}\Vert=\Vert A\mathbf{x}\Vert=\Vert\lambda\mathbf{x}\Vert=\vert\lambda\vert \Vert\mathbf{x}\Vert$ ，即得 $\vert\lambda\vert=1$ ，故正交矩陣的特徵值的絕對值等於 $1$ 。正交矩陣歸屬正規 (normal) 矩陣，即 $A^\ast A=AA^\ast$ ，因此擁有完整的 $n$ 個單範正交特徵向量 (見“特殊矩陣 (3)：么正矩陣 (酉矩陣)”)。若 $A$ 和 $B$ 是同大小的正交矩陣，則 $(AB)^T(AB)=B^TA^TAB=B^TB=I$ ，得知 $AB$ 也是正交矩陣。

旋轉

對於任一正交矩陣 $A$ ， $(\det A)^2=(\det A^T)(\det A)=\det(A^TA)=\det I=1$ ，因此 $\det A=\pm 1$ 。若 $\det A=1$ ， $A$ 稱為適當的 (proper) 正交矩陣或旋轉矩陣。若 $\det A=-1$ ， $A$ 稱為不適當的正交矩陣。當 $n=2$ ，逆時針方向旋轉 $\theta$ 徑度的旋轉矩陣為

$\displaystyle R(\theta)=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array}\!\!\right]$ 。

明顯地， $R(\theta)^T=R(-\theta)=R^{-1}(\theta)$ ， $\det R(\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ ，且 $R(\theta)$ 的特徵值為 $\cos\theta\pm i\sin\theta$ ，其中 $i=\sqrt{-1}$ 。

鏡射

令 $\mathcal{U}$ 為 $\mathbb{R}^n$ 的一個子空間，且 $P$ 是值域為 $\mathcal{U}^\perp$ 的正交投影矩陣，滿足 $P^2=P=P^T$ (見“正交投影矩陣的性質與界定”，定理一)。給定 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ ，寫出 $\mathbf{x}=P\mathbf{x}+(I-P)\mathbf{x}$ ，其中 $P\mathbf{x}\in\mathcal{U}^\perp$ ， $(I-P)\mathbf{x}\in\mathcal{U}$ ，因為 $\displaystyle (P\mathbf{x})^T(I-P)\mathbf{x}=\mathbf{x}^TP^T(I-P)\mathbf{x}=\mathbf{x}^T(P-P^2)\mathbf{x}=0$ 。見圖一，令 $S\mathbf{x}=P\mathbf{x}+(P-I)\mathbf{x}=(2P-I)\mathbf{x}$ 。對於子空間 $\mathcal{U}^\perp$ ，我們稱 $S\mathbf{x}$ 是點 $\mathbf{x}$ 的鏡射點，鏡射矩陣為

$\displaystyle S=2P-I$ 。

考慮 $n=2$ 的情況。若 $\mathcal{U}^\perp=\{\mathbf{0}\}$ ，正交投影矩陣為 $P_1=0$ ，對於原點的鏡射矩陣則為 $S_1=-I_2$ 。若 $\mathcal{U}^\perp=L$ 為一穿越原點的直線，稱為鏡射軸，設 $L$ 與正 X 軸的夾角為 $\phi$ (以下夾角皆為逆時針轉角)。令 $\mathbf{v}=\begin{bmatrix} \cos\phi\\ \sin\phi \end{bmatrix}$ 代表鏡射軸 $L$ 的指向向量，即 $L=\text{span}\{\mathbf{v}\}$ 。寫出映至直線 $L$ 的正交投影矩陣 $P_2=\mathbf{v}\mathbf{v}^T/\mathbf{v}^T\mathbf{v}=\mathbf{v}\mathbf{v}^T$ (見“正交投影──威力強大的線代工具”)，對於鏡射軸 $L$ 的鏡射矩陣為

$\displaystyle\begin{aligned} S_2&=2\mathbf{v}\mathbf{v}^T-I\\ &=\begin{bmatrix} 2\cos^2\phi-1&2\cos\phi\sin\phi\\ 2\sin\phi\cos\phi&2\sin^2\phi-1 \end{bmatrix}\\ &=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2\phi&\sin 2\phi\\ \sin 2\phi &-\cos 2\phi \end{array}\!\!\right], \end{aligned}$

最後一個等式使用了倍角公式。若 $\mathcal{U}^\perp=\mathbb{R}^2$ ，則 $P_3=I_2$ ，對於整個平面的鏡射矩陣即為單位矩陣， $S_3=I_2$ 。計算行列式，可得 $\det S_1=1$ ， $\det S_2=-1$ ， $\det S_3=1$ ，因此 $-I_2$ 和 $I_2$ 是鏡射矩陣，也是旋轉矩陣 (但 $-I_3$ 並非旋轉矩陣，因為 $\det(-I_3)=-1$ )。

圖一對於一子空間的鏡射

鏡射矩陣具有下列性質：

鏡射矩陣是對稱、正交且對合 (involutory) 矩陣。直接計算即可證明：

$S^T=(2P-I)^T=2P^T-I=2P-I=S$ ，

$S^TS=(2P-I)^T(2P-I)=(2P-I)(2P-I)=4P^2-2P-2P+I=I$ ，

$S^2=S^TS=I$ 。
對於子空間 $\mathcal{U}^\perp$ ，鏡射矩陣 $S$ 的特徵值為 $1$ (重數是 $\dim\mathcal{U}^\perp$ ) 和 $-1$ (重數是 $\dim\mathcal{U}$ )，故 $\det S=\pm 1$ 。證明於下：令 $k=\dim\mathcal{U}$ ， $\{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_k\}$ 是 $\mathcal{U}$ 的一組單範正交基底，且 $\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_{n-k}\}$ 是 $\mathcal{U}^\perp$ 的一組單範正交基底。對於映至 $\mathcal{U}^\perp$ 的正交投影矩陣 $P$ ，我們有 $P\mathbf{u}_i=\mathbf{0}$ ， $1\le i\le k$ ，且 $P\mathbf{v}_j=\mathbf{v}_j$ ， $1\le j\le n-k$ 。使用這些等式，可得 $S\mathbf{u}_i=(2P-I)\mathbf{u}_i=-\mathbf{u}_i$ 和 $S\mathbf{v}_j=(2P-I)\mathbf{v}_j=\mathbf{v}_j$ 。

若 $S$ 是對於 $\mathcal{U}^\perp$ 的鏡射矩陣， $T$ 是對於 $\mathcal{U}$ 的鏡射矩陣，則 $ST=TS=-I$ 。證明於下：若 $P$ 是映至 $\mathcal{U}^\perp$ 的正交投影矩陣，則 $I-P$ 是映至 $\mathcal{U}$ 的正交投影矩陣。使用性質1， $ST=(2P-I)(2(I-P)-I)=(2P-I)(I-2P)=-S^2=-I$ ，同樣地， $TS=-I$ 。

Householder 矩陣

在 $\mathbb{R}^n$ ，若 $\mathcal{U}=\text{span}\{\mathbf{u}\}$ ， $\Vert\mathbf{u}\Vert=1$ ，設 $H$ 為對於穿越原點的超平面 $\mathcal{U}^\perp$ 的鏡射矩陣 (維數等於 $n-1$ 的子空間稱為超平面)。因為 $\mathbf{u}\mathbf{u}^T$ 是映至 $\mathcal{U}$ 的正交投影矩陣，可知 $P=I-\mathbf{u}\mathbf{u}^T$ 是映至 $\mathcal{U}^\perp$ 的正交投影矩陣，故 $H=2P-I=2(I-\mathbf{u}\mathbf{u}^T)-I=I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^T$ 。給定一超平面的單位法向量 $\mathbf{u}$ (或 $-\mathbf{u}$ )，對於此超平面的鏡射矩陣稱為 Householder 矩陣 (見“特殊矩陣 (4)：Householder 矩陣”)，

$\displaystyle H=I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^T$ 。

根據鏡射矩陣性質2， $n\times n$ 階 Householder 矩陣 $H$ 有一特徵值 $-1$ ，對應特徵向量 $\mathbf{u}$ ，以及 $(n-1)$ 個相重特徵值 $1$ ，對應特徵空間 $\text{span}\{\mathbf{u}\}^\perp$ ，故 $\det H=-1$ 。換句話說，Householder 矩陣是不適當的正交矩陣。上例，平面上對於鏡射軸 $L$ 的鏡射矩陣 $S_2$ 即為 Householder 矩陣。在數值線性代數，Householder 矩陣是一個應用廣泛的矩陣，原因在於它具備定理一所述的性質。

定理一：對於任意非零向量 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$ ， $\Vert\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{y}\Vert$ ，存在一 Householder 矩陣 $H$ 使得 $H\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 。若 $\mathbf{x}\neq\mathbf{y}$ ，則 $H$ 唯一存在。

如果 $\mathbf{x}=\mathbf{y}$ ，則任何一個包含 $\mathbf{x}$ 的超平面所對應的 Householder 矩陣即符合所求。若 $\mathbf{x}\neq\mathbf{y}$ ，考慮單位法向量為 $(\mathbf{x}-\mathbf{y})/\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert$ 的超平面，對應的 Householder 矩陣為

$\displaystyle H=I-2\frac{(\mathbf{x-y})(\mathbf{x}-\mathbf{y})^T}{\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2}$ 。

因為 $\Vert\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{y}\Vert$ ，可得 $\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2=\Vert\mathbf{x}\Vert^2+\Vert\mathbf{y}\Vert^2-2\mathbf{x}^T\mathbf{y}=2(\Vert\mathbf{x}\Vert^2-\mathbf{x}^T\mathbf{y})$ 。計算鏡射像，

$\displaystyle \begin{aligned} H\mathbf{x}&=\left(I-2\frac{(\mathbf{x-y})(\mathbf{x}-\mathbf{y})^T}{\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2}\right)\mathbf{x}\\ &=\mathbf{x}-2\frac{\mathbf{x}^T(\mathbf{x}-\mathbf{y})}{\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\\ &=\mathbf{x}-2\frac{\Vert\mathbf{x}\Vert^2-\mathbf{x}^T\mathbf{y}}{\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert^2}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\\ &=\mathbf{x}-(\mathbf{x}-\mathbf{y})\\ &=\mathbf{y}. \end{aligned}$

定理二，稱為 Cartan–Dieudonné 定理，提供了聯繫旋轉矩陣與鏡射 (Householder) 矩陣的理論基礎。

定理二：任一 $n\times n$ 階， $n\ge 2$ ，正交矩陣 $A$ 可表示為

$A=H_1H_2\cdots H_k$ ，

其中 $H_1,\ldots,H_k$ 是 Householder 矩陣， $k\le n$ 。

我們採行 Householder 矩陣應用於 QR 分解的證明方法 (見“Householder 變換於 QR 分解的應用”)。將 $n\times n$ 階正交矩陣 $A$ 以行向量表示， $A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}$ ，其中每一 $\mathbf{a}_j\neq\mathbf{0}$ 。使用定理一，設 $\mathbf{x}=\mathbf{a}_1$ ， $\mathbf{y}=\Vert\mathbf{a}_1\Vert\mathbf{e}_1$ ，其中 $\mathbf{e}_1=(1,0,\ldots,0)^T$ 。若 $\mathbf{x}=\mathbf{y}$ ，不需執行任何運算，否則令 $\mathbf{u}_1=\displaystyle\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert}$ ，Householder 矩陣 $H_1=I-2\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^T$ 可使

$H_1\mathbf{a}_1=\Vert\mathbf{a}_1\Vert\mathbf{e}_1$ 。

換句話說，左乘 $H_1$ 可完全消滅 $A$ 中 $(1,1)$ 以下所有元：

$\begin{aligned} H_1A&=H_1\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} H_1\mathbf{a}_1&H_1\mathbf{a}_2&\cdots&H_1\mathbf{a}_n \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} r_{11}&r_{12}&\cdots&r_{1n}\\ 0&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\ast&\cdots&\ast \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} r_{11}&\ast\\ \mathbf{0}&A_2 \end{bmatrix},\end{aligned}$

其中 $r_{11}=\Vert\mathbf{a}_1\Vert>0$ ， $A_2$ 為右下 $(n-1)\times(n-1)$ 階分塊。繼續對分塊 $A_2$ 按同樣方式執行化簡，如果需要，設計一 $(n-1)\times(n-1)$ 階 Householder 矩陣 $\hat{H}_2$ 以消滅 $A_2$ 分塊的 $(1,1)$ 以下所有元。令 $H_2=\begin{bmatrix} 1&\mathbf{0}\\ \mathbf{0}&\hat{H}_2 \end{bmatrix}$ 。請讀者自行驗證 $H_2$ 是 Householder 矩陣 (代入 $\hat{H}_2=I_{n-1}-2\mathbf{u}_2\mathbf{u}_2^T$ )。左乘 $H_2$ 可消滅 $H_1A$ 中 $(2,2)$ 以下所有元：

$\begin{aligned} H_2H_1A&=\begin{bmatrix} r_{11}&\ast \\ \mathbf{0}&\hat{H}_2A_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}&\cdots&r_{1n}\\ 0&r_{22}&r_{23}&\cdots&r_{2n}\\ 0&0&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\ast&\cdots&\ast \end{bmatrix}\end{aligned}$ ，

其中 $r_{22}>0$ 。重複上述步驟，左乘 $k\le n$ 個 Householder 矩陣 $H_1,\ldots,H_k$ 可得

$\displaystyle H_k\cdots H_2H_1A=R$ ，

其中 $R$ 是一上三角矩陣且每一主對角元為正數 (因為 $\text{rank}R=\text{rank}A$ ， $R$ 的主對角元必不為零)。正交矩陣的乘積也是一正交矩陣，故 $R$ 是正交矩陣， $R^T=R^{-1}$ 。但 $R^T$ 是下三角矩陣， $R^{-1}$ 是上三角矩陣，因此 $R$ 是對角正交矩陣，推得 $R=I$ 。所以， $A=(H_k\cdots H_2H_1)^{-1}=H_1^{-1}H_2^{-1}\cdots H_k^{-1}=H_1H_2\cdots H_k$ 。

兩個 Householder 矩陣乘積的旋轉矩陣表達

對於任一旋轉矩陣 $R$ 與 Householder 矩陣 $H$ ， $\det R=1$ 且 $\det H=-1$ 。當 $n\ge 2$ ，任兩個 Householder 矩陣的積的行列式等於 $1$ ，故為旋轉矩陣。若 $n=2$ ，定理二表明任一正交矩陣必定是對於一條穿越原點直線的鏡射 (Householder) 矩陣，或是一個旋轉矩陣表示為對於兩條穿越原點直線的鏡射矩陣的積。下面推導平面上任兩個 Householder 矩陣的積的旋轉矩陣表達式 (另一個採用三角學的推導見“答王jiun──關於平面上的鏡射問題”)。設鏡射軸 $L$ 的指向向量為 $\mathbf{v}=\begin{bmatrix} \cos\phi\\ \sin\phi \end{bmatrix}$ ，法向量則為 $\mathbf{u}=\left[\!\!\begin{array}{r} -\sin\phi\\ \cos\phi \end{array}\!\!\right]$ 。代入 Householder 矩陣並使用倍角公式，可得 (同上例 $S_2$ )

$\displaystyle H=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2\phi&\sin 2\phi\\ \sin 2\phi&-\cos 2\phi \end{array}\!\!\right]$ 。

因為 $H\mathbf{v}=\mathbf{v}$ ， $H\mathbf{u}=-\mathbf{u}$ ，且 $\{\mathbf{v},\mathbf{u}\}$ 為一組單範正交集， $H$ 可正交對角化：

$\displaystyle\begin{aligned} H&=\begin{bmatrix} \mathbf{v}&\mathbf{u} \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\!\!\right] \begin{bmatrix} \mathbf{v}&\mathbf{u} \end{bmatrix}^T\\ &=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\phi&-\sin\phi\\ \sin\phi&\cos\phi \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{rc} \cos\phi&\sin\phi\\ -\sin\phi&\cos\phi \end{array}\!\!\right]\\ &=R(\phi)H_yR(-\phi), \end{aligned}$

其中 $R(\phi)$ 是轉角為 $\phi$ 的旋轉矩陣， $H_y=\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\!\!\right]$ 是以 Y 軸為鏡射軸的法向量方向的鏡射矩陣。因為 $R(\phi)H_y$ 是對稱矩陣，

$\displaystyle R(\phi)H_y=(R(\phi)H_y)^T=H_y^TR(\phi)^T=H_yR(-\phi)$ 。

二階 Householder 矩陣 $H$ 可表示為

$\displaystyle H=R(\phi)H_yR(-\phi)=R(\phi)R(\phi)H_y=R(2\phi)H_y$

或

$\displaystyle H=R(\phi)H_yR(-\phi)=H_yR(-\phi)R(-\phi)=H_yR(-2\phi)$ 。

考慮 Householder 矩陣 $H_1=R(\phi_1)H_yR(-\phi_1)$ 與 $H_2=R(\phi_2)H_yR(-\phi_2)$ 。使用上述表達式，可得

$\displaystyle\begin{aligned} H_2H_1&=R(\phi_2)H_yR(-\phi_2)R(\phi_1)H_yR(-\phi_1)\\ &=R(2\phi_2)H_yH_yR(-2\phi_1)\\ &=R(2\phi_2)R(-2\phi_1)\\ &=R(2(\phi_2-\phi_1)). \end{aligned}$

所以，平面上兩個 Householder 矩陣相乘合成旋轉矩陣，轉角等於兩鏡射軸夾角的 $2$ 倍。見圖二，設 $\alpha=\phi_2-\phi_1$ 表示鏡射軸 $L_1$ 與 $L_2$ 的夾角， $\beta$ 表示 $H_1\mathbf{x}$ (或 $H_2H_1\mathbf{x}$ ) 與鏡射軸 $L_2$ 的夾角。因此， $H_1\mathbf{x}$ (或 $\mathbf{x}$ ) 與鏡射軸 $L_1$ 的夾角為 $\alpha-\beta$ ，也就推得 $\mathbf{x}$ 與 $H_2H_1\mathbf{x}$ 的夾角等於 $(\alpha-\beta)+\alpha+\beta=2\alpha$ 。

圖二平面上兩個鏡射等同一旋轉

當 $n=3$ ，任一旋轉矩陣可表示為對於兩個穿越原點的平面的鏡射 (Householder) 矩陣的積。下面推導 $\mathbb{R}^3$ 中任兩個 Householder 矩陣的積的旋轉矩陣表達式。令 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 為 $\mathbb{R}^3$ 的單位向量，且 $H_1=I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^T$ 和 $H_2=I-2\mathbf{v}\mathbf{v}^T$ 。若 $\mathbf{u}=\pm\mathbf{v}$ ，則 $H_1H_2=H_1^2=I$ ，單位矩陣 $I$ 即為轉角等於 $0$ 的旋轉矩陣。假設 $\mathbf{u}$ 與 $\mathbf{v}$ 不共線。設 $\mathbf{u}$ 與 $\mathbf{v}$ 的夾角為 $\phi$ ，則 $\mathbf{u}^T\mathbf{v}=\cos\phi$ 且 $\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\sin\phi\mathbf{w}$ ，其中 $\sin\phi\neq 0$ ， $\Vert\mathbf{w}\Vert=1$ ， $\times$ 表示向量外積 (或稱向量積，cross product)。考慮羅德里格旋轉公式 (Rodrigues’ rotation formula，見“三維空間的旋轉矩陣”)

$\displaystyle R_\mathbf{w}(\theta)=\cos\theta I+(1-\cos\theta)\mathbf{w}\mathbf{w}^T+\sin\theta \begin{bmatrix} \mathbf{w} \end{bmatrix}_{\times}$ ，

其中 $\mathbf{w}$ 是單位轉軸向量， $\theta$ 是轉角，

$\displaystyle \begin{bmatrix} \mathbf{w} \end{bmatrix}_{\times}=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 0&-w_3&w_2\\ w_3&0&-w_1\\ -w_2&w_1&0 \end{array}\!\!\right]$

稱為「外積矩陣」，因為 $\begin{bmatrix} \mathbf{w} \end{bmatrix}_{\times}\mathbf{x}=\mathbf{w}\times\mathbf{x}$ 。我們可以證明下式成立：

$\displaystyle H_2H_1=R_{\mathbf{w}}(2\phi)$ 。

對於任一 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$ ，

$\displaystyle\begin{aligned} H_2H_1\mathbf{x}&=(I-2\mathbf{v}\mathbf{v}^T)(I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\mathbf{x}\\ &=(I-2\mathbf{v}\mathbf{v}^T)(\mathbf{x}-2(\mathbf{u}^T\mathbf{x})\mathbf{u})\\ &=\mathbf{x}-2(\mathbf{u}^T\mathbf{x})\mathbf{u}-2(\mathbf{v}^T\mathbf{x})\mathbf{v}+4\cos\phi(\mathbf{u}^T\mathbf{x})\mathbf{v} \end{aligned}$

且

$\displaystyle\begin{aligned} R_\mathbf{w}(2\phi)\mathbf{x}&=\left(\cos 2\phi I+(1-\cos 2\phi)\mathbf{w}\mathbf{w}^T+\sin 2\phi \begin{bmatrix} \mathbf{w} \end{bmatrix}_{\times}\right)\mathbf{x}\\ &=\cos 2\phi \mathbf{x}+(1-\cos 2\phi)(\mathbf{w}^T\mathbf{x})\mathbf{w}+\sin 2\phi\mathbf{w}\times \mathbf{x}\\ &=(2\cos^2\phi-1)\mathbf{x}+2\sin^2\phi(\mathbf{w}^T\mathbf{x})\mathbf{w}+2\sin\phi\cos\phi\mathbf{w}\times \mathbf{x}. \end{aligned}$

因為 $\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}$ 是一線性獨立集，寫出唯一組合式 $\mathbf{x}=\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}+\gamma\mathbf{w}$ 。計算可得

$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{u}^T\mathbf{x}&=\alpha+\beta\cos\phi\\ \mathbf{v}^T\mathbf{x}&=\alpha\cos\phi+\beta\\ \mathbf{w}^T\mathbf{x}&=\gamma\\ \mathbf{w}\times\mathbf{x}&=\frac{1}{\sin\phi}(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times\mathbf{x}=\frac{1}{\sin\phi}\left((\mathbf{u}^T\mathbf{x})\mathbf{v}-(\mathbf{v}^T\mathbf{x})\mathbf{u}\right)\\ &=\frac{1}{\sin\phi}\left((\alpha+\beta\cos\phi)\mathbf{v}-(\alpha\cos\phi+\beta)\mathbf{u}\right). \end{aligned}$

使用上面等式，

$\displaystyle \begin{aligned} H_2H_1\mathbf{x}-R_{\mathbf{w}}(2\phi)\mathbf{x}&=\mathbf{x}-2(\alpha+\beta\cos\phi)\mathbf{u}-2(\alpha\cos\phi+\beta)\mathbf{v}+4\cos\phi(\alpha+\beta\cos\phi)\mathbf{v}\\ &~~-\left((2\cos^2\phi-1)\mathbf{x}+2\gamma\sin^2\phi\mathbf{w}+2\cos\phi((\alpha+\beta\cos\phi)\mathbf{v}-(\alpha\cos\phi+\beta)\mathbf{u})\right)\\ &=(2-2\cos^2\phi)\mathbf{x}-2(\alpha+\beta\cos\phi-\alpha\cos^2\phi-\beta\cos\phi)\mathbf{u}\\ &~~-2(\alpha\cos\phi+\beta-2\alpha\cos\phi-2\beta\cos^2\phi+\alpha\cos\phi+\beta\cos^2\phi)\mathbf{v}-2\gamma\sin^2\phi\mathbf{w}\\ &=2\sin^2\phi(\mathbf{x}-\alpha\mathbf{u}-\beta\mathbf{v}-\gamma\mathbf{w})=\mathbf{0}. \end{aligned}$

當 $n=2$ ，若 $\phi$ 表示兩個鏡射軸的法向量的夾角 (即兩個鏡射軸的夾角)， $H_2H_1=R(2\phi)$ 說明 $H_2H_1$ 的特徵值為 $\cos 2\phi\pm i\sin 2\phi$ 。當 $n=3$ ，若 $\phi$ 表示兩個鏡射面的法向量的夾角， $H_2H_1=R_{\mathbf{w}}(2\phi)$ 說明 $H_2H_1$ 的特徵值為 $\cos 2\phi\pm i\sin 2\phi$ 和 $1$ (因為 $R_{\mathbf{w}}(2\phi)\mathbf{w}=\mathbf{w}$ )。推廣至 $n\ge 2$ ，兩個 Householder 矩陣之積等於一個旋轉矩陣，特徵值為 $\cos 2\phi\pm i\sin 2\phi$ 和 $(n-2)$ 個 $1$ ，其中 $\phi$ 是兩鏡射超平面的法向量的夾角 (見“Householder 矩陣乘積的特徵值”)。

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