三角恆等式的助記術

如果那一天我決心要寫《懺悔錄》自我批判,裡面肯定會有一個章節毫不掩飾地講述自己曾經耗費大量的時間與精力學習三角恆等式,但每每一覺醒來一切又回到原點。在西西弗斯式 (Sisyphean) 永無盡頭且徒勞無功的磨難後,我開始尋求自我救贖。過程中,內心幾經掙扎與煎熬,最後受到歐拉 (Leonhard Euler) 的幫助才得以稍稍減輕勞苦。我的三角恆等式救贖之道不過就是仰賴歐拉公式的助記術 (mnemonic,助記並不表示最後能夠記住)。這是著名的歐拉公式 (見“歐拉恆等式──最優美的數學定理”)

\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

其中 \theta 是實數,i=\sqrt{-1}。下面是運用歐拉公式推導和差角公式、倍角公式、半角公式,以及冪簡約 (降冪) 公式的告白。

 
和差角公式

和差角公式是最重要的三角恆等式。對照高中數學經常採用的餘弦定理或幾何作圖證法,以歐拉公式證明不僅無痛而且快捷:

\displaystyle\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)&=e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha} e^{i\beta}\\ &=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)\\ &=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta), \end{aligned}

比較等號兩邊的實部與虛部即得和角公式

\displaystyle\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\ \sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. \end{aligned}

將上式的 \beta 替換為 -\beta 立得差角公式。和差化積與積化和差是和差角公式的推論,縱使記不住也情有可原。

 
等式 e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha} e^{i\beta} 的幾何意義是複數平面上轉角為 \alpha+\beta 的旋轉等於二次旋轉的合成,轉角為 \alpha\beta。若以平面上的旋轉解釋,考慮轉角為 \theta 的旋轉矩陣

\displaystyle R(\theta)=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array}\!\!\right]

R(\alpha+\beta)=R(\alpha)R(\beta),即

\displaystyle\begin{aligned} \left[\!\!\begin{array}{cr} \cos(\alpha+\beta)&-\sin(\alpha+\beta)\\ \sin(\alpha+\beta)&\cos(\alpha+\beta) \end{array}\!\!\right]&= \left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\beta&-\sin\beta\\ \sin\beta&\cos\beta \end{array}\!\!\right]\\ &=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta&-(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta&\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{array}\!\!\right].\end{aligned}

 
倍角公式

以三倍角公式為例,利用對稱性,

\displaystyle\begin{aligned} \cos 3\theta+i\sin 3\theta&=e^{i3\theta}=e^{i\theta}e^{i\theta}e^{i\theta}\\ &=(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)\\ &=(\cos^3\theta-3\sin^2\theta\cos\theta)+i(-\sin^3\theta+3\sin\theta\cos^2\theta)\\ &=(\cos^3\theta-3(1-\cos^2\theta)\cos\theta)+i(-\sin^3\theta+3\sin\theta(1-\sin^2\theta))\\ &=(4\cos^3\theta-3\cos\theta)+i(3\sin\theta-4\sin^3\theta). \end{aligned}

同時得到餘弦與正弦三倍角公式:

\displaystyle\begin{aligned} \cos 3\theta&=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ \sin 3\theta&=3\sin\theta-4\sin^3\theta. \end{aligned}

 
半角公式

半角公式也可以直接用歐拉公式推導:

\displaystyle\begin{aligned} \cos\theta+i\sin\theta&=e^{i\theta}=e^{i\frac{\theta}{2}}e^{i\frac{\theta}{2}}\\ &=\left(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}\right)^2\\ &=\left(\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}\right)+i\left(2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\right). \end{aligned}

因此,\cos\theta=\cos^2\frac{\theta}{2}-(1-\cos^2\frac{\theta}{2})=2\cos^2\frac{\theta}{2}-1=1-2\sin^2\frac{\theta}{2},解出

\displaystyle\begin{aligned} \cos\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}\\ \sin\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}. \end{aligned}

 
冪簡約公式

如果要計算 \int\cos^6\theta d\theta,寫出

\displaystyle \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}

使用二項式定理,

\displaystyle\begin{aligned} \cos^6\theta&=\left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^6\\ &=\frac{1}{64}\left(e^{i6\theta}+6e^{i4\theta}+15e^{i2\theta}+20+15e^{-i2\theta}+6e^{-i4\theta}+e^{-i6\theta}\right)\\ &=\frac{1}{32}\left(\cos 6\theta+6\cos 4\theta+15\cos 2\theta+10\right). \end{aligned}

積分可得,

\displaystyle \int\cos^6\theta d\theta=\frac{1}{32}\left(\frac{1}{6}\sin 6\theta+\frac{3}{2}\sin 4\theta+\frac{15}{2}\sin 2\theta+10\theta\right)+C

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19 Responses to 三角恆等式的助記術

  1. Watt Lin 說道:

    請問周教授:
    如果高中數學老師這樣教,可以嗎?
    看得懂,是很好!真是三生有幸!天大的福氣!遇到奇妙的數學公式!
    看不懂的同學們,會不會認為「玄之又玄」?

    • ccjou 說道:

      如果高中數學要這樣教,必須在介紹了sin和cos後,立刻教複數。如此三角學的授課時間可以縮減至2-3週(甚至更少)。這不會造成缺失,歐拉公式的重要性遠大於平面幾何。這是使用平面幾何的三角恆等式證明 (號稱Proof without words,需要高超的平面幾何技巧):

      http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d253/25312.pdf

      • Watt Lin 說道:

        我個人贊成高中老師這樣教,
        但是,不知有沒有人反對?

      • Watt Lin 說道:

        如果一條公式(例如和角公式),採用三種方法,皆能得到證明,最後,選擇一種方法,幫助長期記憶(或者說,一時忘記,快速恢復記憶的方式),我會選擇歐拉公式的方法。
        高中老師需要有足夠的時間去解說,學生也要有耐心,練習自己獨自證明,才會增長實力。
        能夠懂歐拉公式,而且也能採取其他方法證明,是很好的事。
        當前的台灣教育環境,注重考試分數,大概很少人,願意付出耐心,去尋求多重方法的證明。懂一種證明方法,便自己認為懂,不太會去比較與欣賞優雅的方法。

        • ccjou 說道:

          我不確定歐拉公式究竟是否適合中學生學習三角恆等式。以前曾經貼過這個迴響:

          青原惟信禪師說過一段話正是「同一件事,可以由多方面去瞭解」的最佳註解:

          老僧三十年前未參禪時,
          見山是山,見水是水。
          及至後來親見知識,有個入處,
          見山不是山,見水不是水。
          而今得個休歇處,依前
          見山只是山,見水只是水。

          歐拉公式或許正是最末句「見山只是山,見水只是水」。

  2. Ethan 說道:

    咦,教授是在說盧梭的《懺悔錄》嗎XD 好像離題了哈哈

    • ccjou 說道:

      很多人都寫過,奧古斯丁,托爾斯泰。我設想的《懺悔錄》是非哲學無宗教性的。

      • Ethan 說道:

        了解了解,幾個月前在讀盧梭的《懺悔錄》,我覺得他在某種程度上根本是古代的韋小寶,很有趣而且也滿…寫實的?推薦教授看看。(抱歉一直離題XD)

  3. Peter Chan 說道:

    Inspiring

  4. Meiyue Shao 說道:

    我觉得Euler公式不适合高中生,尤其不适合初学者。代替的方案是用旋转变换来讲,不论是否引进矩阵,旋转变换都很容易讲清楚。

    • ccjou 說道:

      是的。如果不用歐拉公式,除了降冪公式,旋轉變換
      x'=x\cos\theta-y\sin\theta
      y'=x\sin\theta+y\cos\theta
      或複數乘法
      (x'+iy')=(\cos\theta+i\sin\theta)(x+iy)
      都很容易推演和角公式、倍角公式與半角公式。透過前者還可以順便引進矩陣。問題是平面與空間幾何長久以來是高中理組數學的重心,要改變現在的教法恐怕很難。

      • Watt Lin 說道:

        老師的回覆
        (x’ + i y’)
        y’ 遺漏 ‘ 符號

      • Meiyue Shao 說道:

        问题是为什么需要改变呢?我并不觉得用几何方法证明和角公式有什么不好(当然略麻烦),其余的公式从Euler公式开始推和从和角公式开始推难度相当。学过复数乘法之后回过来重温一遍自然是好的,但似乎没必要从头开始改变。

        • ccjou 說道:

          這個問題其實很大。2005年大陸啟動新的數學課程改革,很多數學家對於過分刪減平面幾何提出質疑,他們憂慮這將不利於培養學生的邏輯思維能力,爭議甚至演變成數學教育是為拔尖菁英還是屈從大眾。

          我個人並不反對平面幾何,但如果它嚇跑了很多可能有機會學好數學(畢竟這個領域這麼大)的學生,那麼寧可不學也罷。

          • Meiyue Shao 說道:

            如果条件成立,那么我同意结论。不过我认为有机会学好数学(这里的“好”指的是能掌握中学数学)但会被普通教材里的平面几何吓跑的学生很少很少。

            现行的大陆中学数学教材,除增加了少量微积分外,初等数学部分比起几十年前已大规模删减。但是删掉的部分都是精华,而且难度并不高于保留的部分,反而导致知识体系残缺。其实问题更多出在考试制度和教师水平,而不是这些数学内容本身。

            应该说最好的一批学生大体上是不会受此影响的,而三流的学生最终学得如何也不影响他们日后的生活,删减内容苦的恰恰就是那批本有机会学好的第二集团。

  5. 321312 說道:

    平面幾何根本跟邏輯沒什麼大關係,你說畫下輔助線的時候靠的是??
    1. 靈感
    2. 天分
    3. 方法論
    4. 感覺
    5. 以前看過
    6. 亂畫
    7. 簡單的邏輯
    8. 複雜高深的邏輯

    只有雨人才會選7,或者是根本沒學過其他數學的人才會覺得幾何證明可以靠簡單的邏輯看出來。
    選8的根本是在幻想

    人類理解數學靠的是?
    1. 先驗的知識?
    2. 死背?
    3. 努力? (那電腦不夠努力嗎?)
    3. 圓規?

    一個簡單的代數化為幾何,一定會難倒整間學校的人(不查資料)。
    如果現代人可以只用平面幾何輕易做出幾何難題,難道古人都是智障?

    確實有數學家反對 “過度" 刪除。
    好的老師和學校,要在圖書館提供課外書,甚至老師借書給學生,而不是什麼都要灌在教科書。

    鼓勵學生多閱讀比硬一堆死背的講義或者塞一堆內容在書本中來的實際。
    老師在上課不旁徵博引,卻怪罪教育設計不好,那是老師自己在混日子。
    一個數學老師家裡的數學書會比國高中教科書內容少嗎? 只有無心教育的老師,現代社會沒有資源不足的問題。

    • ccjou 說道:

      數學家們(估計比例不少)要是聽到「平面幾何根本跟邏輯沒什麼大關係」肯定會暴怒。

      前一陣子我跟一位經濟學教授聊天,言談間問他還記得平面幾何否?他答:不記得了。我問:如果中學時你沒學平面幾何,是否會影響日後的數學學習,譬如邏輯推理?他說:不知道,因為沒有對照組可比較。我再問:現在你怎麼看待平面幾何?他回:平面幾何比較偏向是智力競賽。

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