每週問題 August 17, 2015

AB=0,則 BA 的特徵值全為零。

Let A and B be n\times n matrices. If AB=0, show that all eigenvalues of BA are zero.

 
參考解答:

證明1. 設 BA\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\mathbf{x}\neq\mathbf{0}。因為 AB=0,可得 ABA\mathbf{x}=\lambda A\mathbf{x}=\mathbf{0}。若 A\mathbf{x}\neq\mathbf{0},則 \lambda=0;若 A\mathbf{x}=\mathbf{0},則 BA\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}=\mathbf{0},推得 \lambda=0 (因為 \mathbf{x}\neq\mathbf{0})。

證明2. 使用反證法。假設 BA\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\lambda\neq 0\mathbf{x}\neq\mathbf{0}。因為 AB=0,可得 ABA\mathbf{x}=\lambda A\mathbf{x}=\mathbf{0},就有 A\mathbf{x}=\mathbf{0},故 BA\mathbf{x}=\mathbf{0},我們得到一個矛盾,即得證。

證明3. 使用這個性質:ABBA 有相同的特徵值。因為 AB=0 的特徵值皆為零,可知 BA 的特徵值全部為零。下面證明 ABBA 有相同的特徵值:考慮

\begin{bmatrix}  I&A\\  0&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0&0\\  B&0  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  AB&0\\  B&0  \end{bmatrix}

以及

\begin{bmatrix}  0&0\\  B&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&A\\  0&I  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0&0\\  B&BA  \end{bmatrix}

合併可得

\begin{bmatrix}  I&A\\  0&I  \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}  AB&0\\  B&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&A\\  0&I  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0&0\\  B&BA  \end{bmatrix}

所以,\begin{bmatrix}  AB&0\\  B&0  \end{bmatrix} 相似於 \begin{bmatrix}  0&0\\  B&BA  \end{bmatrix}。分塊下三角矩陣的特徵值即為主對角分塊的特徵值,故 ABBA 有相同的特徵值。

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1 則回應給 每週問題 August 17, 2015

  1. Meiyue Shao 說:

    我觉得证法三最重要.
    和前两种证法本质相同的另一种写法是 (BA)^2=B(AB)A=0, 所以 BA 是幂零阵, 特征值全为零.

    另外, 条件里的两个矩阵可以不必是方阵, 长方的也可以 (当然需保证两个乘积都有意义).

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