## 每週問題 August 17, 2015

$AB=0$，則 $BA$ 的特徵值全為零。

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ matrices. If $AB=0$, show that all eigenvalues of $BA$ are zero.

$\begin{bmatrix} I&A\\ 0&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0\\ B&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} AB&0\\ B&0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&0\\ B&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I&A\\ 0&I \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0\\ B&BA \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} I&A\\ 0&I \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} AB&0\\ B&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I&A\\ 0&I \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0\\ B&BA \end{bmatrix}$

和前两种证法本质相同的另一种写法是 $(BA)^2=B(AB)A=0$, 所以 $BA$ 是幂零阵, 特征值全为零.