每週問題 August 24, 2015

給定 P_1+\cdots+P_k=I,證明冪等 (idempotent) 矩陣 P_i 的等價性質。

Let P_1,\ldots,P_k be n\times n matrices such that P_1+\cdots+P_k=I. Prove that the following statements are equivalent.

(a) P_iP_j=0 for i\neq j;
(b) P_1,\ldots,P_k are idempotent matrices, i.e., P_i^2=P_i;
(c) \text{rank}P_1+\cdots+\text{rank}P_k=n.

 
參考解答:

(a)\Rightarrow(b):因為 P_iP_j=0i\neq j,可得

\displaystyle  P_i=P_iI=P_i(P_1+\cdots+P_k)=P_iP_1+\cdots+P_iP_k=P_i^2,~~~1\le i\le k

(b)\Rightarrow(c):若 P^2=P,我們先證明 P 可對角化。令 C(P) 代表 P 的行空間 (column space),N(P) 代表 P 的零空間 (nullspace)。任一 \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n 可表示成 \mathbf{x}=P\mathbf{x}+(I-P)\mathbf{x},其中 P\mathbf{x}\in C(P)P(\mathbf{x}-P\mathbf{x})=P\mathbf{x}-P^2\mathbf{x}=\mathbf{0},即 \mathbf{x}-P\mathbf{x}\in N(P),也就有 C(P)+N(P)=\mathbb{C}^n。接著證明 C(P)\cap N(P)=\{\mathbf{0}\}:若 \mathbf{y}\in C(P)\cap N(P),則存在 \mathbf{z} 使得 \mathbf{y}=P\mathbf{z}P\mathbf{y}=\mathbf{0},因此 \mathbf{0}=P\mathbf{y}=P^2\mathbf{z}=P\mathbf{z}=\mathbf{y}。合併以上結果,推得 C(P)\oplus N(P)=\mathbb{C}^n。令 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m\}C(P) 的一組基底,其中 m=\dim C(P)\le n,且 \{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_{n-m}\}N(P) 的一組基底。據此,P\mathbf{v}_i=\mathbf{v}_ii=1,\ldots,m,且 P\mathbf{w}_j=\mathbf{0}j=1,\ldots,n-m,可知 Pn 個線性獨立的特徵向量,即證明 P 可對角化。

上面可對角化的證明同時表明 P_i 相似於 D_i=\text{diag}\{1,\ldots,1,0,\ldots,0\},因此 \text{rank}P_i=\text{rank}D_i=\text{trace}D_i=\text{trace}P_i。所以,

\displaystyle\begin{aligned}  \text{rank}P_1+\cdots+\text{rank}P_k  &=\text{trace}P_1+\cdots+\text{trace}P_k\\  &=\text{trace}(P_1+\cdots+P_k)\\  &=\text{trace}I_n=n.\end{aligned}

(c)\Rightarrow(a):使用矩陣和的行空間包容性質,

\displaystyle  C(P_1)+\cdots+C(P_k)\supseteq C(P_1+\cdots+P_k)=C(I_n)=\mathbb{C}^n

C(P_1)+\cdots+C(P_k)=\mathbb{C}^n。由 (c),\dim C(P_1)+\cdots+\dim C(P_k)=n,推得 C(P_1)\oplus\cdots\oplus C(P_k)=\mathbb{C}^n。對於任一 \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n

\displaystyle  P_j\mathbf{x}=(P_1+\cdots+P_k)P_j\mathbf{x}=P_1P_j\mathbf{x}+\cdots+P_kP_j\mathbf{x}

其中等號左邊 P_j\mathbf{x}\in C(P_j),等號右邊 P_iP_j\mathbf{x}\in C(P_i)1\le i\le k。然而,C(P_j)\cap C(P_i)=\{\mathbf{0}\}i\neq j,故可推論 P_iP_j=0i\neq j

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