梯度、散度與旋度的恆等式

本文的閱讀等級:初級

D\subset\mathbb{R}^3 是一開集,f:D\to\mathbb{R} 是連續可微函數,且 \mathbf{F}:D\to\mathbb{R}^3 是連續可微向量函數。純量函數 f 的梯度 (grad),向量函數 \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) 的散度 (div) 和旋度 (curl) 定義如下 (見“梯度、散度與旋度”):

\displaystyle   \hbox{grad}\,f\equiv\begin{bmatrix}  D_xf\\  D_yf\\  D_zf  \end{bmatrix}=\nabla f

\displaystyle   \hbox{div}\,\mathbf{F}\equiv\nabla\cdot\mathbf{F}=\begin{bmatrix}  D_x\\  D_y\\  D_z  \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}  F_1\\  F_2\\  F_3  \end{bmatrix}=D_xF_1+D_yF_2+D_zF_3

\displaystyle   \hbox{curl}\,\mathbf{F}\equiv\nabla\times\mathbf{F}=\begin{bmatrix}  D_x\\  D_y\\  D_z  \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}  F_1\\  F_2\\  F_3  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  D_yF_3-D_zF_2\\  D_zF_1-D_xF_3\\  D_xF_2-D_yF_1  \end{bmatrix}

本文整理出一些梯度、散度與旋度的恆等式,並提供證明。

 
開始推導前,請讀者注意以下幾點:

  • 不要輕易乘開內積或外積,而應設法運用內積與外積等式化簡。如果非乘開不可,僅需計算向量的第一個元,其他各元類推 (變更指標) 即得。
  • fg 是可微函數,D 是微分算子,則 D(fg)=g(Df)+f(Dg)。微分是線性算子,將 f_cg_c 當作常數,即有 D(fg_c+f_cg)=g(Df)+f(Dg)。微分乘法法則不僅適用於純量乘法,也適用於向量的內積與外積。
  • \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in\mathbb{R}^3。為便利推導,外積 \mathbf{b}\times\mathbf{c} 可用行列式表示為

    \displaystyle   \mathbf{b}\times\mathbf{c}=\begin{vmatrix}  \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\  b_1&b_2&b_3\\  c_1&c_2&c_3  \end{vmatrix}=(b_2c_3-b_3c_2)\mathbf{i}+(b_3c_1-b_1c_3)\mathbf{j}+(b_1c_2-b_2c_1)\mathbf{k}

    在計算行列式時,向量 \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} 視同純量。同樣地,\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) 也可用行列式表達:

    \displaystyle   \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\begin{vmatrix}  a_1&a_2&a_3\\  b_1&b_2&b_3\\  c_1&c_2&c_3  \end{vmatrix}=a_1(b_2c_3-b_3c_2)+a_2(b_3c_1-b_1c_3)+a_3(b_1c_2-b_2c_1)

 
內積與外積

\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in\mathbb{R}^3\alpha\in\mathbb{R}。下面是幾個有用的向量內積和外積等式。

(V1) \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}

(V2) \mathbf{a}\times \mathbf{b}=-\mathbf{b}\times\mathbf{a}

(V3a) \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}

(V3b) \mathbf{a}\cdot(\alpha\mathbf{b})=\alpha(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})

(V4a) \mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{a}\times\mathbf{c}

(V4b) \mathbf{a}\times(\alpha\mathbf{b})=\alpha(\mathbf{a}\times\mathbf{b})

(V5) \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})

(V6) \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}

 
以下設 \alpha 為常數 (純量),fg 為純量函數,\mathbf{C} 為常數向量,\mathbf{F}\mathbf{G} 為向量函數。

 
梯度

(G1a) \nabla(f+g)=\nabla f+\nabla g

(G1b) \nabla(\alpha f)=\alpha\nabla f

微分是線性算子,故 (G1a) 和 (G1b) 成立。

 
(G2) \nabla(fg)=g\nabla f+f\nabla g

根據微分乘法規則,將 f_cg_c 當作常數,使用 (G1),

\displaystyle\begin{aligned}  \nabla (fg)&=\nabla(fg_c+f_cg)\\  &=\nabla(fg_c)+\nabla(f_cg)\\  &=g\nabla f+f\nabla g.  \end{aligned}

 
(G3) \nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G})=(\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}+(\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F}+\mathbf{F}\times(\nabla\times\mathbf{G})+\mathbf{G}\times(\nabla\times\mathbf{F})

\mathbf{F}_c\mathbf{G}_c 當作常數,使用 (G1) 和 (V6),

\displaystyle\begin{aligned}  \nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G})&=\nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}_c+\mathbf{F}_c\cdot\mathbf{G})\\  &=\nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}_c)+\nabla(\mathbf{G}\cdot\mathbf{F}_c)\\  &=\mathbf{G}\times(\nabla\times\mathbf{F})+(\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F}+\mathbf{F}\times(\nabla\times\mathbf{G})+(\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}.  \end{aligned}

 
(G4) \nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{F})=2(\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{F}+2\mathbf{F}\times(\nabla\times\mathbf{F})

\mathbf{G}=\mathbf{F} 代入 (G3) 即得證。

 
散度

(D1a) \nabla\cdot(\mathbf{F}+\mathbf{G})=\nabla\cdot\mathbf{F}+\nabla\cdot\mathbf{G}

(D1b) \nabla\cdot(\alpha\mathbf{F})=\alpha\nabla\cdot\mathbf{F}

(D1c) \nabla\cdot(f\mathbf{C})=\nabla f\cdot\mathbf{C}

使用 (V3) 可證明 (D1a) 和 (D1b),由定義立得 (D1c)。

 
(D2) \nabla\cdot(f\mathbf{F})=f\nabla\cdot\mathbf{F}+\nabla f\cdot\mathbf{F}

f_c\mathbf{F}_c 當作常數,使用 (D1),

\displaystyle\begin{aligned}  \nabla\cdot(f\mathbf{F})&=\nabla\cdot(f_c\mathbf{F}+f\mathbf{F}_c)\\  &=\nabla\cdot(f_c\mathbf{F})+\nabla\cdot(f\mathbf{F}_c)\\  &=f\nabla\cdot\mathbf{F}+\nabla f\cdot\mathbf{F}.  \end{aligned}

 
(D3) \nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\mathbf{G}\cdot(\nabla\times\mathbf{F})-\mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G})

\mathbf{F}_c\mathbf{G}_c 當作常數,使用 (D1),(V2) 和 (V5),

\displaystyle\begin{aligned}  \nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})&=\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}_c+\mathbf{F}_c\times\mathbf{G})\\  &=\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}_c)-\nabla\cdot(\mathbf{G}\times\mathbf{F}_c)\\  &=\mathbf{G}\cdot(\nabla\times\mathbf{F})-\mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).  \end{aligned}

 
旋度

(C1a) \nabla\times(\mathbf{F}+\mathbf{G})=\nabla\times\mathbf{F}+\nabla\times\mathbf{G}

(C1a) \nabla\times(\alpha\mathbf{F})=\alpha\nabla\times\mathbf{F}

(C1c) \nabla\times(f\mathbf{C})=\nabla f\times\mathbf{C}

使用 (V4) 可證明 (C1a) 和 (C1b),由定義立得 (C1c)。

 
(C2) \nabla\times(f\mathbf{F})=f\nabla\times\mathbf{F}+\nabla f\times\mathbf{F}

f_c\mathbf{F}_{c} 當作常數,使用 (C1),

\displaystyle\begin{aligned}  \nabla\times(f\mathbf{F})&=\nabla\times(f_c\mathbf{F}+f\mathbf{F}_c)\\  &=\nabla\times(f_c\mathbf{F})+\nabla\times(f\mathbf{F}_c)\\  &=f\nabla\times\mathbf{F}+\nabla f\times \mathbf{F}.  \end{aligned}

 
(C3) \nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\mathbf{F}(\nabla\cdot\mathbf{G})-\mathbf{G}(\nabla\cdot\mathbf{F})+(\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F}-(\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}

\mathbf{F}_c\mathbf{G}_c 當作常數,使用 (C1),(V2) 和 (V6),

\displaystyle\begin{aligned}  \nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{G})&=\nabla\times(\mathbf{F}_c\times\mathbf{G}+\mathbf{F}\times\mathbf{G}_c)\\  &=\nabla\times(\mathbf{F}_c\times\mathbf{G})-\nabla\times(\mathbf{G}_c\times\mathbf{F})\\  &=\mathbf{F}(\nabla\cdot\mathbf{G})-(\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}-\left(\mathbf{G}(\nabla\cdot\mathbf{F})-(\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F}\right)\\  &=\mathbf{F}(\nabla\cdot\mathbf{G})-(\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}-\mathbf{G}(\nabla\cdot\mathbf{F})+(\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F}.  \end{aligned}

 
二次導數

(S1) \nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{F})=0

使用行列式表達式,

\displaystyle  \begin{aligned}  \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})&=\begin{vmatrix}  D_x&D_y&D_z\\  D_x&D_y&D_z\\  F_1&F_2&F_3  \end{vmatrix}\\  &=(D_yD_z-D_zD_y)F_1+(D_zD_x-D_xD_z)F_2+(D_xD_y-D_yD_x)F_3\\  &=0,  \end{aligned}

或使用 (V5),

\displaystyle  \nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{F})=(\nabla\times\nabla)\cdot\mathbf{F}=\mathbf{0}\cdot\mathbf{F}=0

 
(S2) \nabla\times(\nabla f)=\mathbf{0}

使用行列式表達式,

\displaystyle\begin{aligned}    \nabla\times(\nabla{f})&=\begin{vmatrix}  \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\  D_x&D_y&D_z\\  D_xf&D_yf&D_zf  \end{vmatrix}\\  &=(D_yD_z-D_zD_y)f\mathbf{i}+(D_zD_x-D_xD_z)f\mathbf{j}+(D_xD_y-D_yD_x)f\mathbf{k} \\  &=\mathbf{0},  \end{aligned}

或收集微分算子,

\displaystyle  \nabla\times(\nabla f)=(\nabla\times\nabla)f=\mathbf{0}f=\mathbf{0}

 
(S3) \nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla^2\mathbf{F}

考慮 \nabla\times(\nabla\times\mathbf{F}) 的第一個元,

\displaystyle\begin{aligned}    \begin{vmatrix}  D_y&D_z\\    \begin{vmatrix}    D_z&D_x\\    F_3&F_1  \end{vmatrix}  &\begin{vmatrix}  D_x&D_y\\    F_1&F_2  \end{vmatrix}    \end{vmatrix}  &=\left|\!\!\begin{array}{ccr}  D_y&0&-D_z\\  D_z&D_x&D_y\\  F_3&F_1&F_2  \end{array}\!\!\right|\\  &=D_x\left|\!\!\begin{array}{cr}  D_y&-D_z\\  F_3&F_2  \end{array}\!\!\right|-\left|\!\!\begin{array}{cr}  D_y&-D_z\\  D_z&D_y  \end{array}\!\!\right|F_1\\  &=D_x(D_xF_1+D_yF_2+D_zF_3)-(D_x^2+D_y^2+D_z^2)F_1\\  &=D_x(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla^2F_1,  \end{aligned}

或使用 (V6),

\displaystyle\begin{aligned}  \nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})&=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-(\nabla\cdot\nabla)\mathbf{F}\\  &=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla^2\mathbf{F}.\end{aligned}

 
(S4) \nabla\cdot(\nabla f\times \nabla g)=0

\nabla f_c\nabla g_c 當作常數,使用 (D1),(V2),(V5) 和 (S2),

\displaystyle\begin{aligned}  \nabla\cdot(\nabla f\times\nabla g)&=\nabla\cdot(\nabla f\times\nabla g_c+\nabla f_c\times \nabla g)\\  &=\nabla\cdot(\nabla f\times\nabla g_c)-\nabla\cdot(\nabla g\times\nabla f_c)\\  &=\nabla g\cdot(\nabla\times (\nabla f))-\nabla f\cdot(\nabla\times (\nabla g))\\  &=\nabla g\cdot\mathbf{0}-\nabla f\cdot\mathbf{0}=0.  \end{aligned}

 
(S5) \nabla\cdot(f\nabla g)=f\nabla^2g+\nabla f\cdot\nabla g

使用 (D2),

\displaystyle  \begin{aligned}  \nabla\cdot(f\nabla g)&=f\nabla\cdot(\nabla g)+\nabla g\cdot\nabla f\\  &=f\nabla^2g+\nabla f\cdot\nabla g.  \end{aligned}

 
(S6) \nabla^2(fg)=f\nabla^2g+g\nabla^2f+2(\nabla f\cdot\nabla g)

使用 (G2),(D1) 和 (S5),

\displaystyle\begin{aligned}  \nabla^2(fg)&=\nabla\cdot\left(\nabla(fg)\right)\\  &=\nabla\cdot(f\nabla g+g\nabla f)\\  &=\nabla\cdot(f\nabla g)+\nabla\cdot(g\nabla f)\\  &=f\nabla^2g+\nabla f\cdot\nabla g+g\nabla^2f+\nabla g\cdot\nabla f\\  &=f\nabla^2g+g\nabla^2f+2(\nabla f\cdot\nabla g).  \end{aligned}

 
(S7) \nabla\cdot(f\nabla g-g\nabla f)=f\nabla^2g-g\nabla^2f

使用 (D1) 和 (S5),

\displaystyle\begin{aligned}  \nabla\cdot(f\nabla g-g\nabla f)&=\nabla\cdot(f\nabla g)-\nabla\cdot(g\nabla f)\\  &=f\nabla^2g+\nabla f\cdot\nabla g-\left(g\nabla^2f+\nabla g\cdot\nabla f\right)\\  &=f\nabla^2g-g\nabla^2f.  \end{aligned}

 
(S8) \nabla^2(f\mathbf{F})=\mathbf{F}\nabla^2f+2(\nabla f\cdot\nabla)\mathbf{F}+f\nabla^2\mathbf{F}

考慮 \nabla^2(f\mathbf{F}) 的第一個元,使用 (S6),

\displaystyle\begin{aligned}  \nabla^2(fF_1)&=f\nabla^2F_1+F_1\nabla^2f+2(\nabla f\cdot\nabla F_1)\\  &=f\nabla^2F_1+F_1\nabla^2f+2(\nabla f\cdot\nabla) F_1.  \end{aligned}

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3 Responses to 梯度、散度與旋度的恆等式

  1. Watt Lin 說道:

    這些公式的證明,看起來,像是浩大工程!
    我不是讀理工科系,沒有正式選修《向量分析》課程,
    僅是業餘興趣,偶爾看一點這方面的書,或是網站。
    將來如果有空閒時間,可能把向量分析的公式們,獨自證明一遍。
    我親自證明過的式子,並不多,以往採用展開的方法,耗用紙張較多。
    例如 curl (curl F) 的演算,我很有興趣,在這幾年來,
    偶爾「默寫」一遍證明,寫幾次之後,幾乎背熟了。
    看見老師說「不要輕易乘開內積或外積」,我以前沒這樣作。
    這真是好方法!也節省紙張。

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