每週問題 August 31, 2015

這是關於正規可交換矩陣的問題。

If A and B are normal matrices and AB=BA, show that A^\ast B=BA^\ast, AB^\ast=B^\ast A, and AB is a normal matrix.

 
參考解答:

證明1:給定正規矩陣 AAA^\ast=A^\ast A,我們先證明 A^\ast 可表示為 A 的多項式。正規矩陣可么正對角化 (unitarily diagonalizable),設 A=U\Lambda U^\ast,其中 U 是一么正 (unitary) 矩陣滿足 U^\ast=U^{-1}\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)。存在一多項式 p 使得 p(\lambda_i)=\overline{\lambda}_ii=1,\ldots,n。所以,

\displaystyle p(\Lambda)=\begin{bmatrix}  p(\lambda_1)&&\\  &\ddots&\\  &&p(\lambda_n)  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \overline{\lambda}_1&&\\  &\ddots\\  &&\overline{\lambda}_n  \end{bmatrix}=\Lambda^\ast

也就有矩陣多項式

\displaystyle   p(A)=Up(\Lambda)U^\ast=U\Lambda^\ast U^\ast=A^\ast

因為 AB=BA,可得 A^kB=A^{k-1}BA=A^{k-2}BA^2=\cdots=BA^k,其中 k\ge 1。所以,A^\ast B=p(A)B=Bp(A)=BA^\ast。值得注意的是,這個結論對一般矩陣 B 皆成立。同樣地,若 B 為正規矩陣,則 AB^\ast=B^\ast A。使用以上結果,

\displaystyle   AB(AB)^\ast=ABB^\ast A^\ast=AB^\ast BA^\ast=B^\ast AA^\ast B=B^\ast A^\ast AB=(AB)^\ast(AB)

AB 是一正規矩陣。

 
證明2:可交換矩陣,即 AB=BA,具有同時可對角化性質,也就是說正規矩陣 AB 可么正對角化為 A=U\Lambda_1U^\astB=U\Lambda_2U^\ast,其中 U^\ast=U^{-1}\Lambda_1\Lambda_2 是對角矩陣。因此,

\displaystyle   A^\ast B=U\Lambda_1^\ast U^\ast U\Lambda_2U^\ast=U\Lambda_1^\ast \Lambda_2 U =U\Lambda_2\Lambda_1^\ast U=U\Lambda_2 U^\ast U\Lambda_1^\ast U^\ast=BA^\ast

使用對稱性可得 AB^\ast=B^\ast A。同前,合併兩式可證明 AB 是一正規矩陣。

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4 則回應給 每週問題 August 31, 2015

  1. 小周 說:

    老師, 請問一下, 為什麼會存在一個多項式
    存在一多項式 p 使得 p(\lambda_i)=\overline{\lambda}_i,i=1,\ldots,n 呢?

    點了鏈結:https://ccjou.wordpress.com/2009/08/12/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9F%A9%E9%99%A3-%E4%BA%8C%EF%BC%9A%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9F%A9%E9%99%A3/

    也只是以性質列了出來, 想明白一下背後的原因. 謝謝老師!

  2. Meiyue Shao 說:

    A, B 正规且可交换可以推出 A, B 可以同时酉对角化, 这是另一种快捷的证法.

    另外, 题目里有一处笔误 (is is).

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