每週問題 September 7, 2015

這是正規矩陣的一個充要條件證明問題。

Prove that A is a normal matrix if and only if A^\ast=AU, where U is a unitary matrix.

 
參考解答:

(\Rightarrow) 若 A 是一個正規矩陣,則 A 可么正對角化為 A=Q\Lambda Q^\ast,其中 Q 是一個么正 (unitary) 矩陣,即 Q^\ast=Q^{-1},且 \Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)。令 D=\text{diag}(d_1,\ldots,d_n),其中 d_i=\overline{\lambda_i}/\lambda_i\lambda_i\neq 0d_i=1\lambda_i=0。所以,

\displaystyle A^\ast=Q\Lambda^\ast Q^\ast=Q\Lambda D Q^\ast=Q\Lambda Q^\ast QDQ^\ast=A(QDQ^\ast)

因為 D^\ast D=I,可得 (QDQ^\ast)^\ast(QDQ^\ast)=QD^\ast Q^\ast QDQ^\ast=QD^\ast DQ^\ast=QQ^\ast=I,證明 QDQ^\ast 是一個么正矩陣。

(\Leftarrow) 若 A^\ast=AUU 是一個么正矩陣,U^\ast=U^{-1},則 A=U^\ast A^\astUA=UU^\ast A^\ast=A^\ast,推得 AU=UA。所以,A^\ast A=AUA=AAU=AA^\ast,證明 A 是一個正規矩陣。

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