每週問題 September 28, 2015

證明方陣 A 的一個不變子空間中存在一特徵向量。

Let A be an n\times n matrix. If \mathcal{X}\subseteq\mathbb{C}^n is an invariant subspace of A, i.e., A\mathbf{x}\in\mathcal{X} for every \mathbf{x}\in\mathcal{X}, show that there exists a nonzero vector \mathbf{x} in \mathcal{X} such that A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}.

 
參考解答:

假設不變子空間 \mathcal{X} 的維數為 r0<r\le n。對於任一非零向量 \mathbf{x}\in\mathcal{X}\{\mathbf{x}, A\mathbf{x},\ldots,A^r\mathbf{x}\} 屬於 \mathcal{X} 並且是一個線性相關集,否則 \dim\mathcal{X}=r+1。因此,存在不全為零的數組 c_0,c_1,\ldots,c_r 使得

c_0\mathbf{x}+c_1A\mathbf{x}+\cdots+c_rA^r\mathbf{x}=\mathbf{0}

k 為最大指標滿足 c_k\neq 00<k\le r。將 \{c_i\} 當成一個 k 次多項式的係數,分解如下:

c_kt^k+\cdots+c_1t+c_0=c_k(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)

其中每一 \lambda_j\in\mathbb{C}。同樣係數的矩陣多項式也有相同的分解式:

\mathbf{0}=(c_kA^k+\cdots+c_1A+c_0I)\mathbf{x}=c_k(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_kI)\mathbf{x}

等號右邊的矩陣乘法算式至少有一個 \lambda_j 和向量 \mathbf{y}\neq\mathbf{0} 使得 (A-\lambda_jI)\mathbf{y}=\mathbf{0},證明 A 有一個特徵向量 \mathbf{y}\in\mathcal{X} 對應特徵值 \lambda_j

This entry was posted in pow 特徵分析, 每週問題 and tagged , , . Bookmark the permalink.

2 則回應給 每週問題 September 28, 2015

  1. 學生 說:

    老師您好
    這個證明是不是即使 X 不是 A-invariant subspace 也成立?
    我找不到哪個步驟是需要用到 X 為 A-invariant subspace才成立的
    感謝老師

    • ccjou 說:

      對於 A,若 \mathcal{X} 是一個不變子空間,則 \mathbf{x}\in\mathcal{X} 蘊含 A\mathbf{x}\in\mathcal{X}。同理,A^2\mathbf{x},A^3\mathbf{x},\ldots\in\mathcal{X}。接著你可以從 \{\mathbf{x},A\mathbf{x},\ldots\} 挑出一個線性相關集。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

你正使用 WordPress.com 帳號留言。 登出 / 變更 )

Twitter picture

你正使用 Twitter 帳號留言。 登出 / 變更 )

Facebook照片

你正使用 Facebook 帳號留言。 登出 / 變更 )

Google+ photo

你正使用 Google+ 帳號留言。 登出 / 變更 )

連結到 %s